Um rio de margens retilíneas e largura constante igual a 5,0 \mathrm{~km} tem águas que correm paralelamente às margens, com velocidade de intensidade 30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Um barco, cujo motor lhe imprime velocidade de intensidade sempre igual a 50 \mathrm{~km} / \mathrm{h} em relação às águas, faz a travessia do rio.
a) Qual o mínimo intervalo de tempo possível para que o barco atravesse o rio?
b) Na condição de atravessar o rio no intervalo de tempo mínimo, que distância o barco percorre paralelamente às margens?
c) Qual o intervalo de tempo necessário para que o barco atravesse o rio percorrendo a menor distância possível?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede três coisas:
Informações fornecidas:
  • Largura do rio: w = 5,0\\ \mathrm{km}.
  • Velocidade da água (corrente), paralela às margens: v_{\text{água}} = 30\\ \mathrm{km/h}á.
  • Velocidade do barco em relação à água (módulo constante): v_{b/água} = 50\\ \mathrm{km/h}á.
Perguntas:
a) Qual o mínimo intervalo de tempo possível para o barco atravessar o rio?
b) Na condição de atravessar no tempo mínimo, que distância o barco percorre paralelamente às margens?
c) Qual o intervalo de tempo necessário para que o barco atravesse o rio percorrendo a menor distância possível?

Passo 2

Modelagem do problema e ideias principais (passo-a-passo didático).
  1. Escolha de eixos: tomar o eixo y perpendicular às margens (atravessia, da margem de partida para a oposta) e o eixo x paralelo às margens (sentido da corrente).
  2. Velocidades vetoriais: a velocidade do barco em relação ao solo (terra) é a soma vetorial da velocidade da água e da velocidade do barco em relação à água:
\vec{v}_{\text{solo}}=\vec{v}_{\text{água}}+\vec{v}_{b/água}.áá
  1. Componentes: seja v_x a componente paralela às margens e v_y a componente perpendicular (atravessia). Usando um ângulo \theta que o barco aponta medido a partir da direção y (positivo para apontar no sentido da corrente),
v_{b/água,x}=50\sin\theta,\qquad v_{b/água,y}=50\cos\theta.áá
Então as componentes no solo são
v_x=30+50\sin\theta,\qquad v_y=50\cos\theta.
  1. Tempo de travessia: o tempo para atravessar depende só da componente perpendicular v_y, porque a largura a atravessar é w. Assim
t=\frac{w}{v_y}=\frac{w}{50\cos\theta}.
  1. Deslocamento paralelo (deriva) durante a travessia:
\Delta x = v_x\,t = \left(30+50\sin\theta\right)\frac{w}{50\cos\theta}.
  1. Comprimento do trajeto relativo ao solo (distância percorrida no solo): o barco segue uma linha reta com velocidade constante \vec{v}_{\text{solo}}, logo o comprimento do trajeto é
S=|\vec{v}_{\text{solo}}|\,t=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}\;t.
Também se pode escrever, usando t=w/v_y,
S=w\sqrt{1+\left(\frac{v_x}{v_y}\right)^{2}}.
Essas fórmulas serão usadas em (a), (b) e (c). Explicação intuitiva: para reduzir o tempo queremos maximizar v_y; para reduzir a distância queremos minimizar |\Delta x| (pois S=\sqrt{\Delta x^{2}+w^{2}}).

Passo 3

Resolvendo (a): mínimo intervalo de tempo.
Para minimizar t=\dfrac{w}{50\cos\theta} precisamos maximizar \cos\theta. Como \cos\theta\le 1, o máximo é \cos\theta=1, que ocorre quando \theta=0 (isto é, o barco aponta exatamente perpendicular às margens, para atravessar “direto” sem mirar upstream/downstream). Nesse caso a componente perpendicular é
v_y=50\cos 0=50\\ \mathrm{km/h}.
Logo o tempo mínimo é
t_{\min}=\frac{w}{50}=\frac{5,0}{50}=0,1\\ \mathrm{h}.
Converter para minutos: 0,1\\ \mathrm{h}=0,1\cdot 60=6\\ \text{min}.
Comentários didáticos: não existe maneira de atravessar mais rápido porque a componente perpendicular da velocidade do barco em relação à água não pode exceder o módulo 50\\ \mathrm{km/h}. Apontando perpendicular obtém-se exatamente esse máximo.

Passo 4

Resolvendo (b): distância percorrida paralelamente às margens na condição de tempo mínimo.
Na condição do item (a) temos \theta=0. Assim a componente paralela do movimento em relação ao solo é apenas a da água (pois v_{b/água,x}=50\sin0=0á):
v_x=30+0=30\\ \mathrm{km/h}.
O tempo de travessia é t_{\min}=0,1\\ \mathrm{h}. Então a deriva (distância paralela às margens) é
\Delta x = v_x\,t_{\min}=30\cdot 0,1=3,0\\ \mathrm{km}.
Intuição: apontando direto para o outro lado o barco não produz componente que compense a corrente, então a água leva o barco 3{,}0\\ \mathrm{km} rio abaixo durante a travessia.

Passo 5

Preparação para (c): pensar na menor distância percorrida.
A distância percorrida no solo entre as margens é o comprimento do segmento que vai de (0,0) a (\Delta x,w), isto é
S=\sqrt{\Delta x^{2}+w^{2}}.
Com w fixo, minimizar S é o mesmo que minimizar |\Delta x|. Então buscamos a escolha de \theta que torne |\Delta x| mínima. A expressão de \Delta x obtida antes é
\Delta x = w\left(\frac{30}{50\cos\theta}+\tan\theta\right) = w\left(0,6\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\right).
Procuramos \theta que minimize |\Delta x|. Uma estratégia simples é tentar anular \Delta x (ficar com deslocamento paralelo zero), porque isso é o menor valor absoluto possível.

Passo 6

Calcular \theta que anula \Delta x e o tempo correspondente.
Impor \Delta x=0
0,6\operatorname{sec}\theta+\tan\theta=0.
Multiplicando ambos os lados por \cos\theta (que deve ser positivo para atravessar para o outro lado, isto é \cos\theta>0) resulta
0,6 + \sin\theta = 0 \quad\Rightarrow\quad \sin\theta = -0,6.
Isso é possível com \cos\theta=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\sqrt{1-0,36}=0,8 (escolhemos o sinal positivo de \cos\theta porque queremos atravessar para o outro lado). Então
v_y=50\cos\theta=50\cdot 0,8=40\\ \mathrm{km/h}.
O tempo necessário nessa condição é
t=\frac{w}{v_y}=\frac{5,0}{40}=0,125\\ \mathrm{h}.
Converter para minutos: 0,125\\ \mathrm{h}=0,125\cdot 60=7,5\\ \text{min}.
Interpretação física e conclusão: apontando o barco um pouco rio acima (ângulo tal que \sin\theta=-0,6) o componente de velocidade do barco em relação à água paralela à margem é 50\sin\theta=-30\\ \mathrm{km/h}, que cancela exatamente os 30\\ \mathrm{km/h} da corrente, resultando em v_x=0. Assim o barco atravessa em linha reta perpendicular ao longo do solo, percorrendo a menor distância possível entre as margens, que é exatamente w=5,0\\ \mathrm{km}. O tempo correspondente é 0,125\\ \mathrm{h}.

Resposta

a) t_{\min}=0,1\\ \mathrm{h}=6\\ \text{min}
b) \Delta x=3,0\\ \mathrm{km}
c) t=0,125\\ \mathrm{h}=7,5\\ \text{min}

Exercícios relacionados