Um rio de margens retilíneas e largura constante igual a
tem águas que correm paralelamente às margens, com velocidade de intensidade
. Um barco, cujo motor lhe imprime velocidade de intensidade sempre igual a
em relação às águas, faz a travessia do rio.
a) Qual o mínimo intervalo de tempo possível para que o barco atravesse o rio?
b) Na condição de atravessar o rio no intervalo de tempo mínimo, que distância o barco percorre paralelamente às margens?
c) Qual o intervalo de tempo necessário para que o barco atravesse o rio percorrendo a menor distância possível?
a) Qual o mínimo intervalo de tempo possível para que o barco atravesse o rio?
b) Na condição de atravessar o rio no intervalo de tempo mínimo, que distância o barco percorre paralelamente às margens?
c) Qual o intervalo de tempo necessário para que o barco atravesse o rio percorrendo a menor distância possível?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede três coisas:
Informações fornecidas:
- Largura do rio:
. - Velocidade da água (corrente), paralela às margens:
. - Velocidade do barco em relação à água (módulo constante):
.
Perguntas:
a) Qual o mínimo intervalo de tempo possível para o barco atravessar o rio?
b) Na condição de atravessar no tempo mínimo, que distância o barco percorre paralelamente às margens?
c) Qual o intervalo de tempo necessário para que o barco atravesse o rio percorrendo a menor distância possível?
a) Qual o mínimo intervalo de tempo possível para o barco atravessar o rio?
b) Na condição de atravessar no tempo mínimo, que distância o barco percorre paralelamente às margens?
c) Qual o intervalo de tempo necessário para que o barco atravesse o rio percorrendo a menor distância possível?
Passo 2
Modelagem do problema e ideias principais (passo-a-passo didático).
- Escolha de eixos: tomar o eixo
perpendicular às margens (atravessia, da margem de partida para a oposta) e o eixo paralelo às margens (sentido da corrente). - Velocidades vetoriais: a velocidade do barco em relação ao solo (terra) é a soma vetorial da velocidade da água e da velocidade do barco em relação à água:
- Componentes: seja
a componente paralela às margens e a componente perpendicular (atravessia). Usando um ângulo que o barco aponta medido a partir da direção (positivo para apontar no sentido da corrente),
Então as componentes no solo são
- Tempo de travessia: o tempo para atravessar depende só da componente perpendicular
, porque a largura a atravessar é . Assim
- Deslocamento paralelo (deriva) durante a travessia:
- Comprimento do trajeto relativo ao solo (distância percorrida no solo): o barco segue uma linha reta com velocidade constante
, logo o comprimento do trajeto é
Também se pode escrever, usando
,
Essas fórmulas serão usadas em (a), (b) e (c). Explicação intuitiva: para reduzir o tempo queremos maximizar
; para reduzir a distância queremos minimizar
(pois
).
Passo 3
Resolvendo (a): mínimo intervalo de tempo.
Para minimizar
precisamos maximizar
. Como
, o máximo é
, que ocorre quando
(isto é, o barco aponta exatamente perpendicular às margens, para atravessar “direto” sem mirar upstream/downstream). Nesse caso a componente perpendicular é
Logo o tempo mínimo é
Converter para minutos:
.
Comentários didáticos: não existe maneira de atravessar mais rápido porque a componente perpendicular da velocidade do barco em relação à água não pode exceder o módulo
. Apontando perpendicular obtém-se exatamente esse máximo.
Passo 4
Resolvendo (b): distância percorrida paralelamente às margens na condição de tempo mínimo.
Na condição do item (a) temos
. Assim a componente paralela do movimento em relação ao solo é apenas a da água (pois
):
O tempo de travessia é
. Então a deriva (distância paralela às margens) é
Intuição: apontando direto para o outro lado o barco não produz componente que compense a corrente, então a água leva o barco
rio abaixo durante a travessia.
Passo 5
Preparação para (c): pensar na menor distância percorrida.
A distância percorrida no solo entre as margens é o comprimento do segmento que vai de
a
, isto é
Com
fixo, minimizar
é o mesmo que minimizar
. Então buscamos a escolha de
que torne
mínima. A expressão de
obtida antes é
Procuramos
que minimize
. Uma estratégia simples é tentar anular
(ficar com deslocamento paralelo zero), porque isso é o menor valor absoluto possível.
Passo 6
Calcular
que anula
e o tempo correspondente.
Impor
dá
Multiplicando ambos os lados por
(que deve ser positivo para atravessar para o outro lado, isto é
) resulta
Isso é possível com
(escolhemos o sinal positivo de
porque queremos atravessar para o outro lado). Então
O tempo necessário nessa condição é
Converter para minutos:
.
Interpretação física e conclusão: apontando o barco um pouco rio acima (ângulo tal que
) o componente de velocidade do barco em relação à água paralela à margem é
, que cancela exatamente os
da corrente, resultando em
. Assim o barco atravessa em linha reta perpendicular ao longo do solo, percorrendo a menor distância possível entre as margens, que é exatamente
. O tempo correspondente é
.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)