Roberto estava resolvendo a integral definida,
quando percebeu que a função
é ímpar e o intervalo de integração é simétrico, o que o levou a concluir (pelas propriedades da integral definida) que
Na sua opinião, Roberto está certo ou errado em sua conclusão? Justifique a sua resposta.
Passo 1
Temos a integral definida
. O conteúdo envolve funções ímpares em intervalos simétricos e também integrais impróprias, pois
pode ter descontinuidades no intervalo.
Passo 2
Observamos que
é ímpar, ou seja,
. Porém, dentro de
existem pontos de descontinuidade em
, onde
tem assíntotas verticais. Isso torna a integral imprópria e impede a aplicação direta da propriedade de função ímpar, que exige existência (convergência) da integral.
Passo 3
Para ver que a integral diverge, podemos examinar por exemplo
. Usando
, temos
Passo 4
Como
quando
, fica
. Logo essa parte da integral diverge. De modo análogo, a parte de
a
também diverge (para
).
Passo 5
Portanto, a integral definida não converge (é divergente) e a propriedade de função ímpar não pode ser aplicada.
Resposta
Roberto está errado: a integral é imprópria e diverge devido às descontinuidades em
, de modo que a propriedade de função ímpar em intervalo simétrico não se aplica sem que a integral seja convergente.