Roberto estava resolvendo a integral definida,
integral-pi^pi tg(theta) d theta
quando percebeu que a função f(theta)=tg(theta) é ímpar e o intervalo de integração é simétrico, o que o levou a concluir (pelas propriedades da integral definida) que
integral-pi^pi tg(theta) d theta=0
Na sua opinião, Roberto está certo ou errado em sua conclusão? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Temos a integral definida integral-pi^pi tan(theta) ,dtheta. O conteúdo envolve funções ímpares em intervalos simétricos e também integrais impróprias, pois tan(theta) pode ter descontinuidades no intervalo.

Passo 2

Observamos que tan(theta) é ímpar, ou seja, tan(-theta)=-tan(theta). Porém, dentro de [-pi,pi] existem pontos de descontinuidade em theta=pmtfracpi2, onde tan(theta) tem assíntotas verticais. Isso torna a integral imprópria e impede a aplicação direta da propriedade de função ímpar, que exige existência (convergência) da integral.

Passo 3

Para ver que a integral diverge, podemos examinar por exemplo integral0^tfracpi2 tan(theta),dtheta. Usando integral tan(theta),dtheta = -ln|cos(theta)| + C, temos
limbtotfracpi2^-integral0^b tan(theta),dtheta = limbtotfracpi2^-l[-ln|cos(theta)|r]0^b = -ln|cos(b)| + ln|cos(0)|

Passo 4

Como cos(b)to0 quando btotfracpi2^-, fica -ln(0)=+infty. Logo essa parte da integral diverge. De modo análogo, a parte de -pi a 0 também diverge (para -infty).

Passo 5

Portanto, a integral definida não converge (é divergente) e a propriedade de função ímpar não pode ser aplicada.

Resposta

Roberto está errado: a integral é imprópria e diverge devido às descontinuidades em theta=pmtfracpi2, de modo que a propriedade de função ímpar em intervalo simétrico não se aplica sem que a integral seja convergente.

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