Suponha que um sistema de fila tenha dois servidores, distribuição exponencial dos tempos entre chegadas (média de 45 minutos) e distribuiçảo exponencial dos tempos de serviço (média de 30 minutos). Além disso, acabou de chegar um cliente às 08 horas da manhâ. Responda ( 3 , 5 pontos):
d) Suponha que ambos os servidores estejam atendendo clientes às 09:15 horas. Qual a probabilidade de que nenhum dos clientes tenha seus serviços concluidos antes das 09:45 horas?

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre um sistema de fila com dois servidores. Os tempos entre chegadas dos clientes seguem uma distribuição exponencial com média de 45 minutos, e os tempos de serviço também são exponenciais, com média de 30 minutos. Queremos descobrir a probabilidade de que, às 09:15 horas, quando ambos os servidores estão atendendo clientes, nenhum deles termine o serviço até as 09:45 horas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter tempos de serviço exponenciais. A distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente. A média dessa distribuição é o tempo médio que leva para o evento ocorrer, que neste caso é 30 minutos para o serviço.
A probabilidade de um serviço não ser concluído em um certo tempo $ t $ é dada por:
t
Onde $ \lambda $ é a taxa da distribuição. Como a média é 30 minutos:
P(X > t) = e^-lambda t é
Queremos saber a probabilidade de o serviço durar mais de 30 minutos (de 09:15 às 09:45):
lambda

Passo 3

Como temos dois servidores trabalhando de forma independente, a probabilidade de ambos os serviços não serem concluídos em 30 minutos é o produto das probabilidades individuais:
P(nenhum termina) = P(X1 > 30) times P(X2 > 30) = e^-1 times e^-1 = e^-2 approx 0,1353

Resposta

A probabilidade de que nenhum dos clientes termine o serviço antes das 09:45 horas é aproximadamente 13,5%.

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