Alguns modelos frequentes em ciência e engenharia são descritos por uma função do tipo u(x)=\gamma_{0} e^{\gamma_{1} x+\gamma_{2} x^{2}}, onde os coeficientes desconhecidos \gamma_{1} e \gamma_{2} são não positivos. São fornecidos os pares de dados a serem usados na interpolação, (x, y)= (0,1),\left(1, \frac{9}{10}\right),\left(3, \frac{1}{2}\right). Assim, requeremos que u\left(x_{i}\right)=y_{i}. A função u(x) não é um polinômio, mas v(x)=\ln (u(x)) sim. Encontre um polinômio quadrático v(x) que interpole os três pares de dados definidos de forma apropriada e, em seguida, forneça uma fórmula para u(x) em termos dos dados originais.

Passo 1

O enunciado dá a família de funções
u(x)=\gamma_{0} e^{\gamma_{1} x+\gamma_{2} x^{2}}
com \gamma_{1},\gamma_{2}\le 0, e os pares de dados a interpolar:
(x,y) = (0,1),\;\left(1,\tfrac{9}{10}\right),\;\left(3,\tfrac{1}{2}\right).
Exige-se que u(x_{i})=y_{i} para os três pontos. Foi observado que
v(x)=\ln(u(x))
é um polinômio quadrático (porque o log transforma o produto/exponencial em soma/polinômio). Portanto as tarefas são:
  1. encontrar o polinômio quadrático v(x) que interpole os pontos \bigl(x_i,\ln(y_i)\bigr); 2) dar a fórmula de u(x) em termos dos dados originais (isto é, de y_i ou logs deles).

Passo 2

Entender a transformação e escrever a forma geral de v(x).
Se
u(x)=\gamma_{0} e^{\gamma_{1} x+\gamma_{2} x^{2}},
então tomando logaritmo natural temos
v(x)=\ln(u(x))=\ln(\gamma_{0})+\gamma_{1}x+\gamma_{2}x^{2}.
Para simplificar a notação, defina
a_{0}=\ln(\gamma_{0}),\quad a_{1}=\gamma_{1},\quad a_{2}=\gamma_{2}.
Assim v(x) é o polinômio quadrático
v(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}.
Na prática, vamos determinar a_{0},a_{1},a_{2} a partir das equações v(x_i)=\ln(y_i).

Passo 3

Escrevendo as equações de interpolação usando os pontos dados.
Os valores de v nos pontos são \ln(y_i). Para cada ponto temos:
Para x=0 e y=1:
v(0)=a_{0}+a_{1}\cdot 0 + a_{2}\cdot 0^{2} = a_{0} = \ln(1).
Para x=1 e y=\tfrac{9}{10}:
v(1)=a_{0}+a_{1}\cdot 1 + a_{2}\cdot 1^{2} = a_{0}+a_{1}+a_{2} = \ln\!\left(\tfrac{9}{10}\right).
Para x=3 e y=\tfrac{1}{2}:
v(3)=a_{0}+a_{1}\cdot 3 + a_{2}\cdot 3^{2} = a_{0}+3a_{1}+9a_{2} = \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
Estas são três equações lineares em a_{0},a_{1},a_{2}.

Passo 4

Resolver a primeira equação e reduzir o sistema.
Da equação em x=0:
a_{0}=\ln(1)=0.
Portanto a_{0}=0, o que também significa \gamma_{0}=e^{a_{0}}=1. Substituindo a_{0}=0 nas outras duas equações obtemos o sistema para a_{1},a_{2}:
\begin{cases} a_{1}+a_{2}=\ln\!\left(\tfrac{9}{10}\right),\\[4pt] 3a_{1}+9a_{2}=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right). \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema para a_{1} e a_{2} por eliminação (passo a passo).
Multiplique a primeira equação por 3:
3a_{1}+3a_{2}=3\ln\!\left(\tfrac{9}{10}\right).
Subtraia essa equação da segunda para eliminar a_{1}:
(3a_{1}+9a_{2})-(3a_{1}+3a_{2}) = \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) - 3\ln\!\left(\tfrac{9}{10}\right).
Isto dá
6a_{2} = \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) - 3\ln\!\left(\tfrac{9}{10}\right).
Usando propriedades de logaritmos \ln(A)-3\ln(B)=\ln\!\bigl(A/B^{3}\bigr), obtemos
6a_{2} = \ln\!\left(\frac{1/2}{(9/10)^{3}}\right) = \ln\!\left(\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{10}{9}\right)^{3}\right).
Calcule o conteúdo dentro do log:
\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{10}{9}\right)^{3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1000}{729}=\frac{1000}{1458}=\frac{500}{729}.
Logo
6a_{2}=\ln\!\left(\frac{500}{729}\right).
Portanto
a_{2}=\frac{1}{6}\ln\!\left(\frac{500}{729}\right).
Agora volte à primeira equação a_{1}+a_{2}=\ln\!\left(\tfrac{9}{10}\right) para achar a_{1}:
a_{1}=\ln\!\left(\tfrac{9}{10}\right)-a_{2} =\ln\!\left(\tfrac{9}{10}\right)-\frac{1}{6}\ln\!\left(\frac{500}{729}\right).

Passo 6

Escrever explicitamente o polinômio v(x) e interpretar os coeficientes.
Agora temos todos os coeficientes:
a_{0}=0,\quad a_{1}=\ln\!\left(\tfrac{9}{10}\right)-\frac{1}{6}\ln\!\left(\frac{500}{729}\right),\quad a_{2}=\frac{1}{6}\ln\!\left(\frac{500}{729}\right).
Portanto o polinômio interpolador é
v(x)=a_{1}x+a_{2}x^{2}.
Note que ambas as constantes a_{1} e a_{2} são negativas (pode-se verificar numericamente), o que combina com a condição do enunciado \gamma_{1},\gamma_{2}\le 0. Lembre que \gamma_{0}=e^{a_{0}}=1, \gamma_{1}=a_{1}, \gamma_{2}=a_{2}.

Passo 7

Dar a fórmula final para u(x).
Como u(x)=e^{v(x)} e a_{0}=0, obtemos
u(x)=\exp\!\bigl(a_{1}x+a_{2}x^{2}\bigr).
Substituindo as expressões de a_{1},a_{2} em termos dos logs resulta na fórmula explícita. Uma forma compacta usando potências é
u(x)=\left(\tfrac{9}{10}\right)^{x}\left(\tfrac{500}{729}\right)^{\frac{x^{2}-x}{6}},
que é equivalente à expressão exponencial anterior (usei \exp e propriedades de log para transformar).

Resposta

v(x)=\Bigl(\ln\!\left(\tfrac{9}{10}\right)-\dfrac{1}{6}\ln\!\left(\dfrac{500}{729}\right)\Bigr)x+\dfrac{1}{6}\ln\!\left(\dfrac{500}{729}\right)x^{2}\n
u(x)=\exp\!\left(\Bigl(\ln\!\left(\tfrac{9}{10}\right)-\dfrac{1}{6}\ln\!\left(\dfrac{500}{729}\right)\Bigr)x+\dfrac{1}{6}\ln\!\left(\dfrac{500}{729}\right)x^{2}\right)=\left(\tfrac{9}{10}\right)^{x}\left(\tfrac{500}{729}\right)^{\frac{x^{2}-x}{6}}

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