Alguns modelos frequentes em ciência e engenharia são descritos por uma função do tipo
, onde os coeficientes desconhecidos
e
são não positivos. São fornecidos os pares de dados a serem usados na interpolação,
. Assim, requeremos que
. A função
não é um polinômio, mas
sim. Encontre um polinômio quadrático
que interpole os três pares de dados definidos de forma apropriada e, em seguida, forneça uma fórmula para
em termos dos dados originais.
Passo 1
O enunciado dá a família de funções
com
, e os pares de dados a interpolar:
Exige-se que
para os três pontos. Foi observado que
é um polinômio quadrático (porque o log transforma o produto/exponencial em soma/polinômio). Portanto as tarefas são:
- encontrar o polinômio quadrático
que interpole os pontos ; 2) dar a fórmula de em termos dos dados originais (isto é, de ou logs deles).
Passo 2
Entender a transformação e escrever a forma geral de
.
Se
então tomando logaritmo natural temos
Para simplificar a notação, defina
Assim
é o polinômio quadrático
Na prática, vamos determinar
a partir das equações
.
Passo 3
Escrevendo as equações de interpolação usando os pontos dados.
Os valores de
nos pontos são
. Para cada ponto temos:
Para
e
:
Para
e
:
Para
e
:
Estas são três equações lineares em
.
Passo 4
Resolver a primeira equação e reduzir o sistema.
Da equação em
:
Portanto
, o que também significa
. Substituindo
nas outras duas equações obtemos o sistema para
:
Passo 5
Resolver o sistema para
e
por eliminação (passo a passo).
Multiplique a primeira equação por
:
Subtraia essa equação da segunda para eliminar
:
Isto dá
Usando propriedades de logaritmos
, obtemos
Calcule o conteúdo dentro do log:
Logo
Portanto
Agora volte à primeira equação
para achar
:
Passo 6
Escrever explicitamente o polinômio
e interpretar os coeficientes.
Agora temos todos os coeficientes:
Portanto o polinômio interpolador é
Note que ambas as constantes
e
são negativas (pode-se verificar numericamente), o que combina com a condição do enunciado
. Lembre que
,
,
.
Passo 7
Dar a fórmula final para
.
Como
e
, obtemos
Substituindo as expressões de
em termos dos logs resulta na fórmula explícita. Uma forma compacta usando potências é
que é equivalente à expressão exponencial anterior (usei
e propriedades de log para transformar).