9 Dedução de fórmulas de integração numérica
Mostre que se o integrando f(x) for periódico no intervalo [a, b], implicando, em particular, que f(b)=f(a), então a Regra dos Trapézios repetidos será dada por:
\int_{a}^{b} f(x) d x \approx T_{n}(f)=h \sum_{k=0}^{n-1} f\left(x_{k}\right),
onde h é o tamanho do passo e x_{\mathrm{k}} são os pontos discretizados no intervalo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma demonstração explícita do que segue:
  • Temos uma função f(x) periódica no intervalo [a,b]. Em particular foi dito que f(b)=f(a).
  • O intervalo [a,b] é dividido em n subintervalos iguais de comprimento h. Definimos os pontos da malha por
x_k = a + k h,\qquad k=0,1,\dots,n,
com
h=\frac{b-a}{n}.
  • O que precisa ser mostrado é que a Regra dos Trapézios repetida (composta), sob a hipótese f(b)=f(a), fica
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx T_{n}(f)=h \sum_{k=0}^{n-1} f\left(x_{k}\right).

Passo 2

Vamos lembrar e entender a Regra do Trapézio em um único subintervalo. Seja um subintervalo [x_k,x_{k+1}] de largura h. A Regra do Trapézio aproxima a área sob f por um trapézio cuja base é h e cujas alturas são f(x_k) e f(x_{k+1}). A área do trapézio é a média das alturas multiplicada pela base, portanto a aproximação é
\int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\bigl(f(x_k)+f(x_{k+1})\bigr).
Explicando cada símbolo: h é a largura do subintervalo; f(x_k) e f(x_{k+1}) são os valores da função nas extremidades do subintervalo; o fator \tfrac{1}{2} vem de tirar a média das duas alturas.

Passo 3

A Regra dos Trapézios repetida (composta) soma essa aproximação em todos os subintervalos k=0,1,\dots,n-1. Assim
T_n(f)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{h}{2}\bigl(f(x_k)+f(x_{k+1})\bigr).
Agora vamos manipular essa soma com cuidado para ver a estrutura dos coeficientes. Expandindo a soma obtemos
T_n(f)=\frac{h}{2}\Bigl(f(x_0)+f(x_1)\Bigr) +\frac{h}{2}\Bigl(f(x_1)+f(x_2)\Bigr) +\cdots +\frac{h}{2}\Bigl(f(x_{n-1})+f(x_n)\Bigr).
Reorganizando os termos agrupando valores iguais de f(x_k), vemos que cada nó interior x_1,\dots,x_{n-1} aparece duas vezes (uma como f(x_k) no trapézio à sua esquerda e outra como f(x_k) no trapézio à sua direita), enquanto as extremidades x_0 e x_n aparecem apenas uma vez. Portanto podemos escrever de forma compacta
T_n(f)=\frac{h}{2}\Bigl(f(x_0)+2\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)+f(x_n)\Bigr).
Isso é a forma padrão da Regra dos Trapézios composta.

Passo 4

Agora usamos a hipótese de periodicidade: f(x_n)=f(b)=f(a)=f(x_0). Substituindo essa igualdade na expressão anterior temos
T_n(f)=\frac{h}{2}\Bigl(f(x_0)+2\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)+f(x_0)\Bigr).
Somando os dois termos iguais f(x_0) obtemos
T_n(f)=\frac{h}{2}\Bigl(2f(x_0)+2\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)\Bigr).
Fatorando 2 e simplificando com \tfrac{1}{2}
T_n(f)=h\Bigl(f(x_0)+\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)\Bigr).

Passo 5

Finalmente reorganizamos a soma para escrever de forma compacta. A soma dentro do parêntese é exatamente a soma dos valores em x_k para k=0,1,\dots,n-1. Portanto
T_n(f)=h\sum_{k=0}^{n-1} f(x_k),
que é a forma desejada. Para checar mentalmente, pense em um exemplo simples: se n=4 os pontos são x_0,x_1,x_2,x_3,x_4 e, com periodicidade, f(x_4)=f(x_0); então a forma composta padrão dá pesos \tfrac{1}{2},1,1,1,\tfrac{1}{2} multiplicando h, que com f(x_4)=f(x_0) resulta em pesos 1,1,1,1 nos primeiros quatro pontos — equivalente a h\sum_{k=0}^{3} f(x_k).

Resposta

\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx T_{n}(f)=h \sum_{k=0}^{n-1} f\left(x_{k}\right)

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