9 Dedução de fórmulas de integração numérica
Mostre que se o integrando
for periódico no intervalo
, implicando, em particular, que
, então a Regra dos Trapézios repetidos será dada por:
onde h é o tamanho do passo e
são os pontos discretizados no intervalo.
Mostre que se o integrando
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma demonstração explícita do que segue:
- Temos uma função
periódica no intervalo . Em particular foi dito que . - O intervalo
é dividido em subintervalos iguais de comprimento . Definimos os pontos da malha por
com
- O que precisa ser mostrado é que a Regra dos Trapézios repetida (composta), sob a hipótese
, fica
Passo 2
Vamos lembrar e entender a Regra do Trapézio em um único subintervalo. Seja um subintervalo
de largura
. A Regra do Trapézio aproxima a área sob
por um trapézio cuja base é
e cujas alturas são
e
. A área do trapézio é a média das alturas multiplicada pela base, portanto a aproximação é
Explicando cada símbolo:
é a largura do subintervalo;
e
são os valores da função nas extremidades do subintervalo; o fator
vem de tirar a média das duas alturas.
Passo 3
A Regra dos Trapézios repetida (composta) soma essa aproximação em todos os subintervalos
. Assim
Agora vamos manipular essa soma com cuidado para ver a estrutura dos coeficientes. Expandindo a soma obtemos
Reorganizando os termos agrupando valores iguais de
, vemos que cada nó interior
aparece duas vezes (uma como
no trapézio à sua esquerda e outra como
no trapézio à sua direita), enquanto as extremidades
e
aparecem apenas uma vez. Portanto podemos escrever de forma compacta
Isso é a forma padrão da Regra dos Trapézios composta.
Passo 4
Agora usamos a hipótese de periodicidade:
. Substituindo essa igualdade na expressão anterior temos
Somando os dois termos iguais
obtemos
Fatorando
e simplificando com
dá
Passo 5
Finalmente reorganizamos a soma para escrever de forma compacta. A soma dentro do parêntese é exatamente a soma dos valores em
para
. Portanto
que é a forma desejada. Para checar mentalmente, pense em um exemplo simples: se
os pontos são
e, com periodicidade,
; então a forma composta padrão dá pesos
multiplicando
, que com
resulta em pesos
nos primeiros quatro pontos — equivalente a
.