4 (Rolamento, torque e quantidade de movimento angular - 2,5 pontos) Uma roda cujo momento de inércia é de 1,5 \mathrm{kg} . \mathrm{m}^{2} gira com velocidade angular de 800 rev/min em torno de um eixo de momento de inércia desprezivel. Uma segunda roda, de momento de inércia de 4,5 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2}, inicialmente em repouso, no mesmo eíxo, entra em contatocom a primeira roda rapidamente e é liberada logo em seguida. A velocidade angular final da segunda roda \theta de 300 rev/min.
(a) Qual será a velocidade angular final da primeira roda?
(b) Qual e a fraçao da energía cinética original perdida?

Passo 1

O enunciado envolve duas rodas acopladas por atrito, sem torques externos atuando durante o contato rápido. A roda 1 tem momento de inércia I_1=1,5\:\mathrm{kg\cdot m^2} e gira inicialmente com \omega_{1i}=800 rev/min. A roda 2 tem I_2=4,5\:\mathrm{kg\cdot m^2} e parte de repouso \omega_{2i}=0. Após o contato, a roda 2 sai com \omega_{2f}=300 rev/min.
Conteúdos necessários: conservação do momento angular para achar \omega_{1f} e cálculo de energia cinética para determinar a fração perdida.

Passo 2

Como não há torque externo durante o atrito, o momento angular total se conserva:
I_1\,\omega_{1i} + I_2\,\omega_{2i} = I_1\,\omega_{1f} + I_2\,\omega_{2f}.

Passo 3

Substituindo I_1=1,5, I_2=4,5, \omega_{1i}=800, \omega_{2i}=0 e \omega_{2f}=300 (todas em rev/min), obtemos
1{,}5\cdot800 + 4{,}5\cdot0 = 1{,}5\,\omega_{1f} + 4{,}5\cdot300 \quad\Longrightarrow\quad 1200 = 1{,}5\,\omega_{1f} + 1350
1{,}5\,\omega_{1f} = -150 \quad\Longrightarrow\quad \omega_{1f} = -100\\ \text{rev/min}.
O sinal negativo indica que a roda 1 inverteu o sentido de rotação.

Passo 4

A energia cinética inicial é só da roda 1:
K_i = \tfrac12\,I_1\,\omega_{1i}^2.
A energia cinética final é soma das duas rodas:
K_f = \tfrac12\,I_1\,\omega_{1f}^2 + \tfrac12\,I_2\,\omega_{2f}^2.
A fração da energia original perdida é
\frac{K_i - K_f}{K_i} = 1 - \frac{K_f}{K_i}.

Passo 5

Como a conversão de rev/min em rad/s cancela na razão, podemos usar diretamente os valores numéricos em rev/min ao quadrado:
\frac{K_f}{K_i} = \frac{1{,}5\cdot(-100)^2 + 4{,}5\cdot300^2}{1{,}5\cdot800^2} = \frac{1{,}5\cdot10000 + 4{,}5\cdot90000}{1{,}5\cdot640000} = \frac{15000 + 405000}{960000} = 0{,}4375.
Logo,
\frac{K_i - K_f}{K_i} = 1 - 0{,}4375 = 0{,}5625 \;(56{,}25\%).

Resposta

(a) \omega_{1f} = -100 rev/min (rotação invertida).
(b) \displaystyle 56{,}25\% da energia cinética original é perdida.

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