Ao rolar um dado honesto 100 vezes, qual é a probabilidade de observar um 4 exatamente 25 vezes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a probabilidade de tirar um número específico (no caso, o 4) exatamente 25 vezes quando rola um dado honesto 100 vezes. O conteúdo que vamos usar aqui é o de probabilidade binomial, que ajuda a calcular a chance de um evento acontecer um certo número de vezes em várias tentativas. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula da distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que teremos na fórmula. Aqui, o número de tentativas $ n $ é 100 (pois vamos rolar o dado 100 vezes), e o número de sucessos $ k $ que queremos é 25 (queremos tirar o 4 exatamente 25 vezes). A probabilidade de sucesso em uma única tentativa $ p $ é $ \frac{1}{6} $ (porque o dado é honesto e tem 6 faces).

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos ter 25 sucessos em 100 tentativas.
  • $ p^k $ é a probabilidade de sucesso elevada ao número de sucessos.
  • $ (1 - p)^{n - k} $ é a probabilidade de falha elevada ao número de falhas.

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente binomial $ \binom{100}{25} $:
binom10025
Esse valor representa quantas combinações diferentes podemos ter ao tirar o 4 exatamente 25 vezes em 100 rolos.

Passo 5

Agora, vamos calcular $ p^k $ e $ (1 - p)^{n - k} $:
p^k
(1 - p)^n - k
Esses termos representam a probabilidade de obter 25 vezes o 4 e 75 vezes qualquer outro número, respectivamente.

Passo 6

Por fim, vamos multiplicar todos os termos para encontrar a probabilidade:
P(X = 25) = binom10025 times (16)^25 times (56)^75
Esse cálculo vai nos dar a probabilidade exata de tirar um 4 exatamente 25 vezes em 100 rolos de um dado honesto.

Resposta

A probabilidade de observar um 4 exatamente 25 vezes ao rolar um dado honesto 100 vezes é:
P(X = 25) = binom10025 times (16)^25 times (56)^75

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