Ao rolar um dado honesto 100 vezes, qual é a probabilidade de observar um 4 exatamente 25 vezes?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a probabilidade de tirar um número específico (no caso, o 4) exatamente 25 vezes quando rola um dado honesto 100 vezes. O conteúdo que vamos usar aqui é o de probabilidade binomial, que ajuda a calcular a chance de um evento acontecer um certo número de vezes em várias tentativas. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula da distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que teremos na fórmula. Aqui, o número de tentativas $ n $ é 100 (pois vamos rolar o dado 100 vezes), e o número de sucessos $ k $ que queremos é 25 (queremos tirar o 4 exatamente 25 vezes). A probabilidade de sucesso em uma única tentativa $ p $ é $ \frac{1}{6} $ (porque o dado é honesto e tem 6 faces).
Passo 3
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos ter 25 sucessos em 100 tentativas.
- $ p^k $ é a probabilidade de sucesso elevada ao número de sucessos.
- $ (1 - p)^{n - k} $ é a probabilidade de falha elevada ao número de falhas.
Passo 4
Vamos calcular o coeficiente binomial $ \binom{100}{25} $:
Esse valor representa quantas combinações diferentes podemos ter ao tirar o 4 exatamente 25 vezes em 100 rolos.
Passo 5
Agora, vamos calcular $ p^k $ e $ (1 - p)^{n - k} $:
Esses termos representam a probabilidade de obter 25 vezes o 4 e 75 vezes qualquer outro número, respectivamente.
Passo 6
Por fim, vamos multiplicar todos os termos para encontrar a probabilidade:
Esse cálculo vai nos dar a probabilidade exata de tirar um 4 exatamente 25 vezes em 100 rolos de um dado honesto.
Resposta
A probabilidade de observar um 4 exatamente 25 vezes ao rolar um dado honesto 100 vezes é: