Um técnico em aparelhos elétricos faz consertos em domicílio e deve consertar um ferro elétrico na casa de um cliente. Ele avalia que o defeito deve estar na tomada de força da área de serviço, no cabo de força de alimentação ou na resistência do ferro. Por experiência, ele sabe que as probabilidades do defeito estar na tomada, no cabo ou na resistência são de 20 %, 50 % e 30 %, respectivamente. Pensando em termos de ferramentas e peças de reposição do estoque que ele carrega, ele imagina que se o defeito for na tomada a probabilidade de conserto é de 95 %. Se for no cabo de força é de 70 % e se for na resistência é de 20 %.
O técnico chama o cliente e apresenta o ferro consertado. Perguntado do defeito, ele diz que teve que trocar a resistência (conserto mais caro). Qual a probabilidade de ele estar sendo sincero

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e os conceitos que vamos usar. Temos um técnico que conserta ferros elétricos e ele identificou três possíveis locais para o defeito: tomada de força, cabo de força ou resistência. As probabilidades de o defeito estar em cada uma dessas partes são:
  • Tomada: 20%
  • Cabo: 50%
  • Resistência: 30%
Além disso, o técnico sabe a chance de conseguir consertar cada parte:
  • Tomada: 95%
  • Cabo: 70%
  • Resistência: 20%
O problema quer saber a probabilidade de o defeito realmente estar na resistência, dado que o técnico afirmou que foi na resistência e conseguiu consertar. Vamos usar probabilidade condicional e o Teorema de Bayes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é probabilidade condicional e o Teorema de Bayes. A probabilidade condicional $ P(A|B) $ é a probabilidade do evento A ocorrer dado que o evento B já ocorreu. O Teorema de Bayes nos ajuda a calcular essa probabilidade com base em informações conhecidas.
No nosso caso, queremos encontrar $ P(Resistência | Técnico disse que foi na Resistência e consertou) $.

Passo 3

Vamos definir os eventos:
  • $ R $: O defeito está na resistência.
  • $ T $: O defeito está na tomada.
  • $ C $: O defeito está no cabo.
  • $ S $: O técnico afirma que o defeito foi na resistência e conserta.
Queremos calcular $ P(R | S) $.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Bayes:
P(R | S) = P(S | R) cdot P(R)P(S)
Onde:
  • $ P(S | R) $ é a probabilidade de o técnico afirmar que foi na resistência e consertar, dado que o defeito realmente está na resistência.
  • $ P® $ é a probabilidade do defeito estar na resistência.
  • $ P(S) $ é a probabilidade de o técnico afirmar que foi na resistência e consertar, independentemente de onde o defeito esteja.

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. $ P(S | R) $: Se o defeito está na resistência, a chance de o técnico consertar é 20%. Além disso, se ele consertar, ele vai afirmar que foi na resistência. Então:
P(S | R)
  1. $ P® $: Já sabemos que é 30%, ou seja, 0,30.
  2. $ P(S) $: Essa probabilidade envolve todos os cenários onde o técnico afirma que foi na resistência e conserta. Pode acontecer se o defeito estava na resistência e ele consertou, ou se estava em outro lugar mas, por engano ou por substituição, ele afirmou que foi na resistência. Mas como o técnico só afirma que foi na resistência quando conserta, vamos considerar apenas o caso em que o defeito realmente está na resistência.
Portanto:
P(S | R) = 0,20 times 1 = 0,20

Passo 6

Agora, aplicando os valores no Teorema de Bayes:
P(R | S) = 0,20 times 0,300,06 = 0,060,06 = 1

Resposta

A probabilidade de o técnico estar sendo sincero, ou seja, de o defeito realmente estar na resistência, dado que ele afirmou ter consertado a resistência, é de 100%.

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