Um técnico em aparelhos elétricos faz consertos em domicílio e deve consertar um ferro elétrico na casa de um cliente. Ele avalia que o defeito deve estar na tomada de força da área de serviço, no cabo de força de alimentação ou na resistência do ferro. Por experiência, ele sabe que as probabilidades do defeito estar na tomada, no cabo ou na resistência são de 20 %, 50 % e 30 %, respectivamente. Pensando em termos de ferramentas e peças de reposição do estoque que ele carrega, ele imagina que se o defeito for na tomada a probabilidade de conserto é de 95 %. Se for no cabo de força é de 70 % e se for na resistência é de 20 %.
Qual a probabilidade do defeito ter sido no cabo de força, se o técnico conseguiu realizar o conserto?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um técnico que precisa consertar um ferro elétrico e identificou três possíveis locais onde o defeito pode estar: na tomada de força, no cabo de alimentação ou na resistência do ferro. As probabilidades de o defeito estar em cada um desses locais são respectivamente 20%, 50% e 30%. Além disso, o técnico sabe qual a chance de conseguir consertar o ferro dependendo de onde está o defeito:
  • Se o problema é na tomada, há 95% de chance de consertar.
  • Se é no cabo, há 70% de chance de consertar.
  • Se é na resistência, há 20% de chance de consertar.
Queremos descobrir qual é a probabilidade do defeito estar no cabo de força, dado que o técnico conseguiu consertar o ferro. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar probabilidades condicionais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades que já temos:
  • Probabilidade de o defeito estar na tomada ( P(T)): 20% ou 0,20.
  • Probabilidade de o defeito estar no cabo ( P(C)): 50% ou 0,50.
  • Probabilidade de o defeito estar na resistência ( P(R)): 30% ou 0,30.
Também temos as probabilidades de conserto dadas essas situações:
  • Probabilidade de consertar se o defeito está na tomada ( P(S|T)): 95% ou 0,95.
  • Probabilidade de consertar se o defeito está no cabo ( P(S|C)): 70% ou 0,70.
  • Probabilidade de consertar se o defeito está na resistência ( P(S|R)): 20% ou 0,20.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de o defeito estar no cabo, dado que o técnico conseguiu consertar o ferro, ou seja, P(C|S). Pelo Teorema de Bayes, essa probabilidade é dada por:
P(C|S) = P(S|C) times P(C)P(S)
Onde P(S) é a probabilidade total de o técnico conseguir consertar o ferro, independente de onde está o defeito.

Passo 4

Para encontrar P(S), usamos a Regra da Probabilidade Total, que considera todas as maneiras pelas quais o técnico pode conseguir consertar o ferro:
P(S) = P(S|T) times P(T) + P(S|C) times P(C) + P(S|R) times P(R)
Substituindo os valores que já sabemos:
P(S) = (0,95 times 0,20) + (0,70 times 0,50) + (0,20 times 0,30)

Passo 5

Vamos calcular cada parte da equação:
0,95 times 0,20 = 0,19
0,70 times 0,50 = 0,35
0,20 times 0,30 = 0,06
Agora, somamos esses resultados para encontrar P(S):
P(S) = 0,19 + 0,35 + 0,06 = 0,60
Então, a probabilidade total de conseguir consertar o ferro é 60%.

Passo 6

Agora que temos P(S), podemos voltar à fórmula do Teorema de Bayes para encontrar P(C|S):
P(C|S) = 0,70 times 0,500,60 = 0,350,60 approx 0,5833

Resposta

A probabilidade de o defeito estar no cabo de força, dado que o técnico conseguiu realizar o conserto, é de aproximadamente 58,33%.

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