Uma rotação em é uma transformação linear dada pela matriz
Mostre que a rotação gira cada vetor em R^2 no sentido anti-horário em torno da origem de um ângulo de theta e que preserva o comprimento do vetor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a matriz de rotação R em R^2 realmente gira qualquer vetor no plano no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo theta e que, além disso, o comprimento do vetor não muda. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e propriedades das matrizes de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona uma rotação no plano. Quando a gente tem um vetor v = x y , e aplicamos a matriz de rotação R a ele, a gente está girando esse vetor em torno da origem. A matriz R é dada por:
R = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta
Passo 3
Para ver como R gira o vetor v , vamos multiplicar R por v :
R v = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta x y = x cos theta - y sin theta x sin theta + y cos theta
Isso significa que o novo vetor após a rotação tem as coordenadas (x cos theta - y sin theta, , x sin theta + y cos theta) .
Passo 4
Agora, vamos interpretar essas novas coordenadas. Se a gente pensar em coordenadas polares, qualquer vetor v pode ser representado por (r cos phi, r sin phi) , onde r é o comprimento do vetor e phi é o ângulo que ele faz com o eixo x.
Aplicando a matriz R nesse vetor, temos:
R v = r cos phi cos theta - r sin phi sin theta r cos phi sin theta + r sin phi cos theta = r cos (phi + theta) r sin (phi + theta)
Isso mostra que o vetor foi girado de theta radianos em relação ao seu ângulo original phi .
Passo 5
Agora, vamos ver se o comprimento do vetor é preservado. O comprimento de um vetor v é dado por:
|v| = raizx^2 + y^2
Aplicando a rotação, temos o novo vetor R v = x cos theta - y sin theta x sin theta + y cos theta . O comprimento desse novo vetor é:
|R v| = raiz(x cos theta - y sin theta)^2 + (x sin theta + y cos theta)^2
Expandindo os termos:
= raizx^2 cos^2 theta - 2xy cos theta sin theta + y^2 sin^2 theta + x^2 sin^2 theta + 2xy cos theta sin theta + y^2 cos^2 theta
Simplificando, os termos de 2xy cos theta sin theta se cancelam:
Então, mostramos que a matriz de rotação R gira qualquer vetor em R^2 no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo theta e que mantém o comprimento do vetor inalterado.