Uma translação em
é uma transformação linear da forma
, onde pelo menos uma das constantes
e
são não nulas.
Mostre que a translação não tem pontos fixos.
Mostre que a translação não tem pontos fixos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma translação no plano, que é uma transformação que move todos os pontos uma certa distância em alguma direção. Aqui, a translação é dada por
, onde pelo menos um dos valores
ou
não é zero. Nosso objetivo é mostrar que essa transformação não tem pontos fixos, ou seja, não existe nenhum ponto que, ao ser transformado, fique no mesmo lugar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto fixo. Um ponto fixo
satisfaz a equação
. Então, para encontrar um ponto fixo, precisamos resolver a equação:
Passo 3
Vamos igualar as coordenadas correspondentes:
Passo 4
Resolvendo a primeira equação
:
Subtraímos
de ambos os lados:
Passo 5
Agora, resolvendo a segunda equação
:
Subtraímos
de ambos os lados:
Passo 6
Chegamos que
e
. Mas, pelo enunciado, pelo menos um desses valores deve ser diferente de zero. Isso gera uma contradição, pois não pode ter
e
ambos iguais a zero.
Resposta
Portanto, não existem pontos fixos para a translação
com pelo menos um de
ou
diferente de zero.