Uma translação em R^2 é uma transformação linear da forma T(x, y)=(x-h, y-k), onde pelo menos uma das constantes h e k são não nulas.
Mostre que a translação não tem pontos fixos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma translação no plano, que é uma transformação que move todos os pontos uma certa distância em alguma direção. Aqui, a translação é dada por T(x, y) = (x - h, y - k) , onde pelo menos um dos valores h ou k não é zero. Nosso objetivo é mostrar que essa transformação não tem pontos fixos, ou seja, não existe nenhum ponto que, ao ser transformado, fique no mesmo lugar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto fixo. Um ponto fixo (x, y) satisfaz a equação T(x, y) = (x, y) . Então, para encontrar um ponto fixo, precisamos resolver a equação:
(x - h, y - k) = (x, y)

Passo 3

Vamos igualar as coordenadas correspondentes:
x - h = x e y - k = y

Passo 4

Resolvendo a primeira equação x - h = x :
Subtraímos x de ambos os lados:
x - h - x = 0 implies -h = 0 implies h = 0

Passo 5

Agora, resolvendo a segunda equação y - k = y :
Subtraímos y de ambos os lados:
y - k - y = 0 implies -k = 0 implies k = 0

Passo 6

Chegamos que h = 0 e k = 0 . Mas, pelo enunciado, pelo menos um desses valores deve ser diferente de zero. Isso gera uma contradição, pois não pode ter h e k ambos iguais a zero.

Resposta

Portanto, não existem pontos fixos para a translação T(x, y) = (x - h, y - k) com pelo menos um de h ou k diferente de zero.

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