Rotações e o produto escalar. (a) Utilizando os resultados dos problemas anteriores, mostre que o produto escalar entre dois vetores coplanares é invariante em relação à rotação do sistema de coordenadas.

Passo 1

Beleza, o que a questão tá pedindo? Precisamos mostrar que, se eu tenho dois vetores coplanares (digamos no plano XY), o produto escalar deles não muda quando eu rotaciono o sistema de coordenadas. O conteúdo aqui é: definição de produto escalar e como uma rotação no plano age nas componentes de um vetor.

Passo 2

Primeiro, relembra o que é produto escalar em 3D. Dados
u = (ux,uy,uz), v = (vx,vy,vz),
temos
ucdot v = ux,vx + uy,vy + uz,vz
Agora, uma rotação do SISTEMA de coordenadas em torno do eixo z por um ângulo theta equivale a representar cada vetor em novas componentes (x',y',z'), dadas por (você pode pensar nisso como girar o plano XY):
x' = xcostheta + ysintheta, y' = -,xsintheta + ycostheta, z' = z
Essas fórmulas dizem como mudam as componentes de UM VETOR quando o sistema roda. Nosso objetivo é provar que, mesmo trocando (ux,uy)to(ux',uy') e (vx,vy)to(vx',vy'), o produto escalar continua o mesmo.

Passo 3

Vamos calcular diretamente as novas componentes:
ux' &= uxcostheta + uysintheta, uy' &= -uxsintheta + uycostheta, vx' &= vxcostheta + vysintheta, vy' &= -vxsintheta + vycostheta
Então o produto escalar no novo sistema é
u'!cdot!v' = ux',vx' + uy',vy' + uz',vz'
Como z'=z, fica uz'vz'=uzvz. Foquemos em ux'vx'+uy'vy':
ux'vx' + uy'vy' &= (uxcostheta + uysintheta)(vxcostheta + vysintheta) &+(-uxsintheta + uycostheta)(-vxsintheta + vycostheta)
Expandindo, juntando termos semelhantes e usando cos^2theta+sin^2theta=1, percebemos que os “mistas” cancelam e sobra
uxvx(cos^2theta+sin^2theta) +uyvy(sin^2theta+cos^2theta) = uxvx + uyvy

Passo 4

Somando a parte do z, o resultado completo é
u'!cdot!v' = (uxvx + uyvy) + uzvz = u!cdot!v
Ou seja, o produto escalar não mudou. Na linguagem mais avançada, isso acontece porque a matriz de rotação é ortogonal e satisfaz R^T R = I, garantindo que Rucdot Rv=ucdotv.

Resposta

O produto escalar entre dois vetores coplanares é o mesmo antes e depois de girar o sistema de coordenadas:
boxedu'!cdot!v' ;=;u!cdot!v

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