Rotações e o produto escalar. (a) Utilizando os resultados dos problemas anteriores, mostre que o produto escalar entre dois vetores coplanares é invariante em relação à rotação do sistema de coordenadas.
Passo 1
Beleza, o que a questão tá pedindo? Precisamos mostrar que, se eu tenho dois vetores coplanares (digamos no plano XY), o produto escalar deles não muda quando eu rotaciono o sistema de coordenadas. O conteúdo aqui é: definição de produto escalar e como uma rotação no plano age nas componentes de um vetor.
Passo 2
Primeiro, relembra o que é produto escalar em 3D. Dados
temos
Agora, uma rotação do SISTEMA de coordenadas em torno do eixo por um ângulo equivale a representar cada vetor em novas componentes , dadas por (você pode pensar nisso como girar o plano XY):
Essas fórmulas dizem como mudam as componentes de UM VETOR quando o sistema roda. Nosso objetivo é provar que, mesmo trocando (ux,uy)to(ux',uy') e (vx,vy)to(vx',vy'), o produto escalar continua o mesmo.
Ou seja, o produto escalar não mudou. Na linguagem mais avançada, isso acontece porque a matriz de rotação é ortogonal e satisfaz R^T R = I, garantindo que Rucdot Rv=ucdotv.
Resposta
O produto escalar entre dois vetores coplanares é o mesmo antes e depois de girar o sistema de coordenadas: