3- O rotor de helicóptero possui quatro pás, cada uma com 3,40 \mathrm{~m} de comprimento (a partir do eixo central até a ponta da pá). O rotor gira a 550 rpm . (a) Qual é a frequência e o período dessa rotação? (b) Qual é a velocidade angular ( \mathrm{rad} / \mathrm{s} ) de um ponto na metade de uma das pás. (c) Qual é a velocidade linear da ponta da pá, em \mathrm{m} / \mathrm{s} ? (d) Qual é a aceleração radial da ponta da pá? Compare esse resultado com a aceleração da gravidade, g. Explicite os detalhes de seus cálculos.

Passo 1

O enunciado trata da cinemática de rotação de um rotor de helicóptero, com pás de comprimento 3,40,m girando a 550,rpm. O conteúdo usado será conversão de rotações por minuto para frequência f e período T, cálculo de velocidade angular \omega, velocidade linear v em função de \omega e r, e aceleração centrípeta a_c.

Passo 2

Primeiro convertemos 550,rpm (rotações por minuto) em frequência em hertz \text{Hz}=\text{rev/s} e depois em período.
A frequência é
f = \frac{550\\ \text{rev}}{1\\ \text{min}}\times\frac{1\\ \text{min}}{60\\ \text{s}} =\frac{550}{60}\,\text{Hz}\approx9{,}167\,\text{Hz}.
O período é o inverso da frequência:
T = \frac{1}{f} =\frac{1}{9{,}167}\,\text{s}\approx0{,}1091\,\text{s}.

Passo 3

A velocidade angular \omega (em \mathrm{rad/s}) relaciona-se com a frequência por
\omega = 2\pi f.
Substituindo f\approx9{,}167,Hz, temos
\omega = 2\pi \times9{,}167\approx57{,}6\\ \mathrm{rad/s}.
Esse valor vale para qualquer ponto na pá, inclusive no ponto a metade do comprimento.

Passo 4

A velocidade linear v de um ponto a distância r do eixo é
v = \omega\,r.
Para a ponta da pá, r=3{,}40,m, logo
v = 57{,}6\\ \mathrm{rad/s}\times3{,}40\\ \mathrm{m} \approx195{,}8\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

A aceleração centrípeta (radial) na ponta é
a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2\,r.
Usando \omega\approx57{,}6,rad/s e r=3{,}40,m, obtemos
a_c = (57{,}6)^2\times3{,}40 \approx11280\\ \mathrm{m/s^2}.
Comparando com a gravidade g\approx9{,}8,m/s ^2,
\frac{a_c}{g}\approx\frac{11280}{9{,}8}\approx1151,
isto é, a aceleração centrípeta é cerca de 1{,}15\times10^3 vezes g.

Resposta

(a) f\approx9{,}167,Hz e T\approx0{,}1091,s
(b) \omega\approx57{,}6,rad/s
(c) v_{\text{ponta}}\approx195{,}8,m/s
(d) a_c\approx1,128\times10^4,m/s ^2, cerca de 1,15\times10^3\,g

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