O rótulo de uma caixa de sementes informa que a taxa de germinação é de 90 \%. Entretanto, como a data de validade está vencida, acredita-se que a taxa de germinação seja inferior a este número. Foi realizado um experimento e de 400 sementes, tomadas ao acaso, 350 germinaram. Qual a conclusão do teste ao nível de 1 \% de significância?
Resposta: A taxa de germinação não é inferior a 90 \%. Região crítica (-\infty ;-2,33]

Passo 1

O enunciado envolve um teste de hipótese para proporção de sementes germinadas. A taxa anunciada é de p_{0}=0{,}90, e queremos verificar se a taxa real é inferior a esse valor. Usaremos o teste z para proporção, com aproximação normal, já que a amostra é grande ( n=400).

Passo 2

Definimos as hipóteses e o nível de significância:
H_{0}: p = p_{0}=0{,}90
H_{1}: p < 0{,}90
\alpha=0{,}01.

Passo 3

Calculamos a proporção amostral \hat p e o desvio-padrão sob H_{0}:
\hat p = \frac{350}{400} = 0{,}875,
\sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{p_{0}(1-p_{0})}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}90 \cdot 0{,}10}{400}} = \sqrt{0{,}000225} = 0{,}015.

Passo 4

O estatístico de teste é
z = \frac{\hat p - p_{0}}{\sigma_{\hat p}} = \frac{0{,}875 - 0{,}90}{0{,}015}} = \frac{-0{,}025}{0{,}015} \approx -1{,}67.

Passo 5

Para \alpha=0{,}01 em um teste unilateral à esquerda, o valor crítico é
z_{\alpha} = z_{0{,}01} \approx -2{,}33.
A região crítica é
(-\infty,\,-2{,}33].
Como
z \approx -1{,}67 > -2{,}33,
não há evidência suficiente para rejeitar H_{0}.

Resposta

Não rejeitamos H_{0}: a taxa de germinação não é inferior a 90\%.
Região crítica: (-\infty;\,-2{,}33].

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