Se A=[rr3 & -2 -4 & 3], ache B, de modo que B^2=A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a matriz A = 3 & -2 -4 & 3 e precisa encontrar uma matriz B que, quando multiplicada por ela mesma ( B^2), dê exatamente a matriz A. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, especificamente o conceito de matrizes quadradas e a maneira de calcular a raiz quadrada de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A. Autovalores são números que, quando multiplicados por um vetor próprio, não mudam a direção desse vetor. Para encontrar os autovalores, a gente resolve a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 3

Calculando o determinante:
det( 3 - lambda & -2 -4 & 3 - lambda ) = (3 - lambda)^2 - (-2)(-4) = (3 - lambda)^2 - 8
Simplificando:
(3 - lambda)^2 - 8 = 0 9 - 6lambda + lambda^2 - 8 = 0 lambda^2 - 6lambda + 1 = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática lambda^2 - 6lambda + 1 = 0 para achar os autovalores:
lambda = 6 pm raiz36 - 42 = 6 pm raiz322 = 6 pm 4raiz22 = 3 pm 2raiz2
Então, os autovalores são lambda1 = 3 + 2raiz2 e lambda2 = 3 - 2raiz2.

Passo 5

Com os autovalores em mãos, podemos escrever a matriz A de forma diagonalizada. Isso significa que existe uma matriz de autovetores P tal que:
A = P D P^-1
Onde D é a matriz diagonal com os autovalores lambda1 e lambda2 na diagonal.

Passo 6

Para encontrar a matriz B que satisfaz B^2 = A, a gente pode usar a diagonalização da seguinte maneira:
B = P Lambda P^-1
Onde Lambda é a matriz diagonal com as raízes quadradas dos autovalores de A:
Lambda = raizlambda1 & 0 0 & raizlambda2

Passo 7

Calculando as raízes quadradas dos autovalores:
raizlambda1 = raiz3 + 2raiz2 e raizlambda2 = raiz3 - 2raiz2
Para simplificar, podemos reconhecer que:
raiz3 + 2raiz2 = 1 + raiz2 e raiz3 - 2raiz2 = 1 - raiz2

Passo 8

Substituindo esses valores na matriz Lambda:
Lambda = 1 + raiz2 & 0 0 & 1 - raiz2
Portanto, a matriz B fica:
B = P 1 + raiz2 & 0 0 & 1 - raiz2 P^-1

Resposta

A matriz B que satisfaz B^2 = A é:
B = P 1 + raiz2 & 0 0 & 1 - raiz2 P^-1
Onde P é a matriz de autovetores de A.

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