\sum_{n=1}^{\infty} \frac{k^{k}}{k!}, CONVERGE?

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{k}}{k!}
e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo que vamos usar é o Teste da Razão (ou Teste de Cauchy) para séries de termos não-negativos.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Razão. Seja
a_k = \frac{k^{k}}{k!}.
Calculamos
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{(k+1)^{\,k+1}/(k+1)!}{k^{k}/k!} = \frac{(k+1)^{\,k+1}}{(k+1)\,k^{k}} = \biggl(\frac{k+1}{k}\biggr)^{k} = \Bigl(1+\frac{1}{k}\Bigr)^{k}.
Quando k\to\infty, tem-se \bigl(1+\tfrac1k\bigr)^k \to e. Logo,
\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k} = e.
Como e>1, o Teste da Razão diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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