Ruth e Kempe, com um filtro prensa de placas e quadro especial, publicaram os resultados dos ensaios de filtração em laboratório de uma suspensão de \mathrm{CaCO}_{3} em água. A área de filtração total era 262,4 \mathrm{~cm}^{2} e a espessura 1,10 \mathrm{~cm}. Foi utilizado 1,5 \mathrm{Kg} de \mathrm{CaCO}_{3} em 19,3 \mathrm{~L} de água. Os resultados e os dados dos ensaios foram os seguintes:
\rho_{\mathrm{L}}=0,997 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} \quad \rho_{\mathrm{S}}=2,75 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}
\mathrm{M}_{\mathrm{U}}=720 \mathrm{~g} \quad \mathrm{M}_{\mathrm{Sec}}=240 \mathrm{~g}
№ quadros 2 № placas 3
\mathrm{P}=14,2 \mathrm{PSI} \quad \mu=1 \mathrm{cP}
Tabela dos dados experimentais obtido na filtração
Volume \left(\mathrm{cm}^{3}\right) Tempo (s)
200 1,8
400 4,2
600 7,5
800 11,2
1000 15,4
1200 20,5
Determine:
a) A resistência específica do meio filtrante, Rm.
b) A resistência específica da torta <a>.
c) O tempo total (h) de filtração para um volume de 30 L .

Passo 1

O enunciado trata de filtração a pressão constante de uma suspensão de \mathrm{CaCO}_{3} em água, usando filtro prensa com área de filtração A=262{,}4\\ \mathrm{cm}^2 e espessura do meio filtrante x=1{,}10\\ \mathrm{cm}. A concentração de sólidos na suspensão é
c = \frac{1500\\ \mathrm{g}}{19{,}300\\ \mathrm{cm}^3} \approx 0{,}0777\\ \mathrm{g/cm}^3.
Temos os pares (V,t) e sabemos que, para filtração a pressão constante \Delta P, a equação é
\frac{t}{V} = \frac{\mu R_m}{A\,\Delta P} \;+\; \frac{\mu\,\alpha\,c}{2\,A^2\,\Delta P}\;V,
onde \mu=1\\ \mathrm{cP}=0{,}01\\ \mathrm{g/(cm\,s)} e \Delta P=14{,}2\\ \mathrm{psi}=14{,}2\times6{,}894{,}76\times10^4\\ \mathrm{dyn/cm}^2\approx9{,}79\times10^5\\ \mathrm{g/(cm\,s^2)}. A partir de um ajuste linear de t/V versus V, obtemos o intercepto b e a inclinação m, e daí calculamos R_m e \alpha. Finalmente usamos a fórmula completa de t(V) para V=30\\ \mathrm{L}=30{,}000\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 2

Calcular \tfrac{t}{V} para cada par (V,t): \tfrac{1{,}8}{200}=0{,}00900, \tfrac{4{,}2}{400}=0{,}01050, \tfrac{7{,}5}{600}=0{,}01250, \tfrac{11{,}2}{800}=0{,}01400, \tfrac{15{,}4}{1000}=0{,}01540, \tfrac{20{,}5}{1200}\approx0{,}01708.
Tomando os pontos extremos (V_1,t_1/V_1)=(200,0{,}00900) e (V_2,t_2/V_2)=(1200,0{,}01708), a inclinação é
m = \frac{0{,}01708 - 0{,}00900}{1200 - 200} \approx 8{,}08\times10^{-6}\\ \mathrm{s/cm^6},
e o intercepto
b = 0{,}00900 - m\cdot200 \approx 7{,}38\times10^{-3}\\ \mathrm{s/cm^3}.

Passo 3

Determinar R_m pela relação
b = \frac{\mu\,R_m}{A\,\Delta P} \quad\Longrightarrow\quad R_m = \frac{b\,A\,\Delta P}{\mu}.
Substituindo
R_m = \frac{7{,}38\times10^{-3}\times 262{,}4\times 9{,}79\times10^5}{0{,}01} \approx 2{,}0\times10^8\\ \mathrm{cm}^{-1}.

Passo 4

Determinar \alpha pela relação
m = \frac{\mu\,\alpha\,c}{2\,A^2\,\Delta P} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \frac{2\,A^2\,\Delta P\,m}{\mu\,c}.
Substituindo
\alpha = \frac{2\times(262{,}4)^2\times(9{,}79\times10^5)\times(8{,}08\times10^{-6})} {0{,}01\times0{,}0777} \approx 1{,}27\times10^9\\ \mathrm{cm/g}.

Passo 5

Calcular o tempo para filtrar V=30{,}000\\ \mathrm{cm}^3 usando
t = \frac{\mu\,R_m}{A\,\Delta P}\,V \;+\;\frac{\mu\,\alpha\,c}{2\,A^2\,\Delta P}\,V^2.
Com os valores encontrados:
t_1 = \frac{0{,}01\times2{,}0\times10^8}{262{,}4\times9{,}79\times10^5}\times30{,}000 \approx 234\\ \mathrm{s},
t_2 = \frac{0{,}01\times1{,}27\times10^9\times0{,}0777}{2\times(262{,}4)^2\times9{,}79\times10^5}\times(30{,}000)^2 \approx 6{,}571\\ \mathrm{s},
logo t = t_1 + t_2 \approx 6{,}805\\ \mathrm{s}\approx1{,}89\\ \mathrm{h}.

Resposta

R_m \approx 2{,}0\times10^8\\ \mathrm{cm}^{-1}. \alpha \approx 1{,}27\times10^9\\ \mathrm{cm/g}.
Tempo para 30 L \approx 1{,}89\\ \mathrm{h}.

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