S-3.16
Mostre que nenhum dos números 66,666,6666, ldots é um quadrado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que nenhum dos números formados por n dígitos iguais a 6, ou seja
6,;66,;666,;dots
é um quadrado perfeito. Vamos usar aritmética modular, em particular o comportamento de quadrados módulo 4.

Passo 2

Denote por an o número com n dígitos 6. Então
an = 6 + 6cdot 10 + 6cdot 10^2 + dots + 6cdot 10^n-1 = 6cdot10^n-19

Passo 3

Para n>=2 temos 10equiv2pmod4, logo 10^nequiv0pmod4. Assim
10^n - 1 equiv -1 equiv 3 pmod4,
e
10^n-13equiv 3^-1cdot3 equiv 1pmod4,
pois 3^-1equiv3pmod4. Portanto
an = 6cdot10^n-19 = 2cdot10^n-13equiv 2cdot1 equiv 2pmod4
Além disso, para n=1 temos a1=6equiv2pmod4.

Passo 4

Sabemos que todo quadrado perfeito é congruente a 0 ou 1 módulo 4. Mas vimos que
anequiv 2pmod4
para todo n>=1.

Passo 5

Como 2 não está entre as possíveis classes de quadrados módulo 4, concluímos que nenhum an pode ser um quadrado perfeito.

Resposta

Nenhum dos números 6,66,666,ldots é um quadrado perfeito.

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