S-3.16
Mostre que nenhum dos números
é um quadrado.
Mostre que nenhum dos números
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que nenhum dos números formados por
dígitos iguais a 6, ou seja
é um quadrado perfeito. Vamos usar aritmética modular, em particular o comportamento de quadrados módulo 4.
Passo 2
Denote por
o número com
dígitos 6. Então
Passo 3
Para
temos
, logo
. Assim
e
pois
. Portanto
Além disso, para
temos
.
Passo 4
Sabemos que todo quadrado perfeito é congruente a
ou
módulo
. Mas vimos que
para todo
.
Passo 5
Como
não está entre as possíveis classes de quadrados módulo
, concluímos que nenhum
pode ser um quadrado perfeito.
Resposta
Nenhum dos números
é um quadrado perfeito.