Qual(s) do(s) campo(s) abaixo temos ointC F d R=AC ? Onde C é uma curva qualquer suave, fechada e simples.
F=(-y, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se, para o campo vetorial $ F = (-y, 0) $, a integral de linha fechada sobre uma curva $ C $ suave, fechada e simples é igual à área $ A_C $ da região delimitada por $ C $. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais de área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial $ F = (P, Q) $ e uma região $ D $ limitada por uma curva fechada $ C $, temos:
F = (P, Q)
No nosso caso, $ F = (-y, 0) $, ou seja, $ P = -y $ e $ Q = 0 $.

Passo 3

Vamos aplicar o Teorema de Green com esses valores. Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial 0partial x = 0
partial Ppartial y = partial (-y)partial y = -1
Agora, substituindo na expressão do teorema:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - (-1) = 1

Passo 4

Então, a integral de área fica:
integral duplaD 1 , dA = AC
Ou seja, a integral de linha $ \oint_{C} F , dR $ se transforma na área $ A_C $.

Resposta

Sim, para o campo $ F = (-y, 0) $, temos que $ \oint_{C} F , dR = A_{C} $.

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