Qual(s) do(s) campo(s) abaixo temos
? Onde
é uma curva qualquer suave, fechada e simples.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se, para o campo vetorial $ F = (-y, 0) $, a integral de linha fechada sobre uma curva $ C $ suave, fechada e simples é igual à área $ A_C $ da região delimitada por $ C $. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais de área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial $ F = (P, Q) $ e uma região $ D $ limitada por uma curva fechada $ C $, temos:
No nosso caso, $ F = (-y, 0) $, ou seja, $ P = -y $ e $ Q = 0 $.
Passo 3
Vamos aplicar o Teorema de Green com esses valores. Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Agora, substituindo na expressão do teorema:
Passo 4
Então, a integral de área fica:
Ou seja, a integral de linha $ \oint_{C} F , dR $ se transforma na área $ A_C $.
Resposta
Sim, para o campo $ F = (-y, 0) $, temos que $ \oint_{C} F , dR = A_{C} $.