Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha. , é o trapézio de vértices .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado é:
Aqui, é um trapézio com vértices em , , e . O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre uma região plana. Vamos precisar identificar as funções e da integral de linha e aplicar o teorema para transformar essa integral complicada em algo mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções e na integral de linha dada. A integral está na forma:
Comparando com a nossa integral:
Agora, o Teorema de Green diz que:
Então, nosso próximo passo é calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Então, nossa integral de linha original se transformou em uma integral dupla sobre a região , que é o trapézio definido pelos vértices , , e .
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região . Observando os vértices, vemos que o trapézio está entre e . Para cada valor de nesse intervalo, varia de uma linha inferior a uma linha superior.
Vamos encontrar as equações das linhas que formam os lados do trapézio:
Linha inferior: passa por e . A inclinação é , então a equação é .
Linha superior: passa por e . A inclinação é , então a equação é .
Portanto, os limites de para um dado vão de até . Agora, podemos escrever a integral dupla:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, vamos integrar em relação a :
Calculando cada parte:
Para , fazemos uma substituição , então . Os limites se tornam e .