Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha.
ointC sin (x+y) d x+(3 x+y) d y, C é o trapézio de vértices (0,6),(2,4),(2,2),(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado é:
ointC sin (x+y) , dx + (3x+y) , dy
Aqui, C é um trapézio com vértices em (0,6) , (2,4) , (2,2) e (0,0) . O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre uma região plana. Vamos precisar identificar as funções P e Q da integral de linha e aplicar o teorema para transformar essa integral complicada em algo mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções P e Q na integral de linha dada. A integral está na forma:
ointC P , dx + Q , dy
Comparando com a nossa integral:
P = sin(x + y) e Q = 3x + y
Agora, o Teorema de Green diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaR ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Então, nosso próximo passo é calcular as derivadas parciais de Q em relação a x e de P em relação a y .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (3x + y) = 3
partial Ppartial y = partialpartial y sin(x + y) = cos(x + y)
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
integral duplaR ( 3 - cos(x + y) ) dx , dy
Então, nossa integral de linha original se transformou em uma integral dupla sobre a região R , que é o trapézio definido pelos vértices (0,6) , (2,4) , (2,2) e (0,0) .

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração para a região R . Observando os vértices, vemos que o trapézio está entre x = 0 e x = 2 . Para cada valor de x nesse intervalo, y varia de uma linha inferior a uma linha superior.
Vamos encontrar as equações das linhas que formam os lados do trapézio:
  1. Linha inferior: passa por (0,0) e (2,2) . A inclinação é m = 2-02-0 = 1 , então a equação é y = x .
  2. Linha superior: passa por (0,6) e (2,4) . A inclinação é m = 4-62-0 = -1 , então a equação é y = -x + 6 .
Portanto, os limites de y para um dado x vão de y = x até y = -x + 6 . Agora, podemos escrever a integral dupla:
integralx=0^2 integraly=x^-x + 6 ( 3 - cos(x + y) ) dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, vamos integrar em relação a y :
integralx^-x + 6 ( 3 - cos(x + y) ) dy = integralx^-x + 6 3 , dy - integralx^-x + 6 cos(x + y) , dy
Calculando cada parte:
  1. integralx^-x + 6 3 , dy = 3 [ y ]x^-x + 6 = 3(-x + 6 - x) = 3(6 - 2x) = 18 - 6x
  2. Para integralx^-x + 6 cos(x + y) , dy, fazemos uma substituição u = x + y , então du = dy . Os limites se tornam u = x + x = 2x e u = x + (-x + 6) = 6 .
integral2x^6 cos(u) , du = [ sin(u) ]2x^6 = sin(6) - sin(2x)
Agora, juntando as duas partes:
18 - 6x - (sin(6) - sin(2x)) = 18 - 6x - sin(6) + sin(2x)
Agora, integramos isso em relação a x de 0 a 2:
integral0^2 ( 18 - 6x - sin(6) + sin(2x) ) dx
Integrando termo a termo:
  1. integral0^2 18 , dx = 18x |0^2 = 36
  2. integral0^2 -6x , dx = -6 cdot x^22 |0^2 = -6 cdot 2 = -12
  3. integral0^2 -sin(6) , dx = -sin(6) cdot x |0^2 = -2sin(6)
  4. integral0^2 sin(2x) , dx = -12 cos(2x) |0^2 = -12 [cos(4) - cos(0)] = -12 (cos(4) - 1)
Somando tudo:
36 - 12 - 2sin(6) - 12 (cos(4) - 1) = 24 - 2sin(6) - 12cos(4) + 12
Simplificando:
24 + 12 - 2sin(6) - 12cos(4) = 24.5 - 2sin(6) - 12cos(4)

Resposta

A integral de linha dada é igual a 24.5 - 2,sin(6) - 12cos(4) .

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