Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha.
ointC(y+sin x^2) d x+(x^2+e^y^2) d y, C: x^2+y^2=16.

Passo 1

O enunciado pede calcular
ointCl(y+sin x^2r),dx + l(x^2+e^y^2r),dy,
onde C é o círculo x^2+y^2=16, percorrido no sentido anti-horário.
Vamos usar o Teorema de Green, que afirma:
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr)dA,
sendo D o disco interno a C.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=y+sin x^2, Q(x,y)=x^2+e^y^2
Então
partial Qpartial x=2x, partial Ppartial y=1
Logo o integrando de Green é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =2x-1

Passo 3

O Teorema de Green nos dá
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaD(2x-1),dA
Como D é o disco de raio 4 centrado na origem, o termo 2x vale zero ao integrar por simetria. Resta
integral duplaD(2x-1),dA =-integral duplaD1,dA =-l(área de Dr) =-picdot4^2 á

Resposta

-16pi

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