S([l x y z ])=[c x+z 2 x+y+z -y+z ] e T([l x y z ])=[c -2 x+y-z 3 x+y+2 z ],
determine bases e as dimensões para núcleo e imagem de T circ S e S^2=S circ S.

Passo 1

O enunciado dá as transformações lineares
Scolon R^3 to R^3, Sl((x,y,z)^Tr) = (x+z,;2x+y+z,;-y+z)^T
Tcolon R^3 to R^2, Tl((x,y,z)^Tr) = (-2x+y-z,;3x+y+2z)^T
E pede bases e dimensões de núcleo e imagem de Tcirc S e de S^2=Scirc S. Vamos modelar ambas por matrizes e usar o posto para determinar as dimensões, depois encontrar bases explícitas.

Passo 2

Escrevemos as matrizes nas bases canônicas. Para S temos
M = 1 & 0 & 1 2 & 1 & 1 0 & -1 & 1 ,
pois S(x,y,z)^T = M,(x,y,z)^T. Para T temos
N = -2 & 1 & -1 3 & 1 & 2 ,
pois T(x,y,z)^T = N,(x,y,z)^T.

Passo 3

A composição Tcirc S corresponde à matriz
A = N,M = -2 & 1 & -1 3 & 1 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 1 0 & -1 & 1 = 0 & 2 & -2 5 & -1 & 6

Passo 4

Para calculamos o posto. As duas linhas e são linearmente independentes, logo
Pela dimensão do domínio ( ) segue
Para achar resolvemos
Da primeira vem . Substituindo na segunda: . Com temos
logo uma base de é .
Para podemos tomar as duas colunas independentes, por exemplo
é uma base de .

Passo 5

Agora tem matriz
Calculamos mas um menor vale , logo . Assim
Para resolvemos
Dessas obtemos e , ou seja
portanto uma base de é também .
Para podemos tomar, por exemplo, as duas primeiras colunas independentes
como base de .

Resposta

Para :
com base .
com base .
Para :
com base .
com base .

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