Vamos usar a noção de limite para estudar taxas de crescimento de funções. Sejam f(x) e g(x) funções positivas e
lim x +infty f(x)g(x)=L>0
A depender do valor de L, podemos saber se f cresce mais rapidamente que g, e vice-versa: caso L>1, então para valores de x suficientemente grandes teremos f(x)g(x)>1 e portanto f(x)>g(x). Analogamente, se L<1, para valores de x suficientemente grande temos f(x)<g(x).
Em cada item abaixo, utilize o critério acima para decidir qual função cresce mais rapidamente quando x +infty.
f(x)=x^2+3 x, g(x)=x.

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
f(x)=x^2+3x e g(x)=x
e pede para compararmos qual cresce mais rapidamente quando xto+infty. O conteúdo aqui é usar limites para comparar taxas de crescimento: basta calcular
limxto+inftyf(x)g(x)
e interpretar o valor obtido.

Passo 2

Vamos escrever a razão f/g:
f(x)g(x) =x^2+3xx =x+3

Passo 3

Agora calculamos o limite da expressão obtida:
limxto+infty(x+3)=+infty
Como +infty>1, para x suficientemente grande teremos f(x)g(x)>1, ou seja, f(x)>g(x).

Resposta

A função f(x)=x^2+3x cresce mais rapidamente que g(x)=x quando xto+infty.

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