S seja T: R3 → R2 definida por T (x, y, z) = (x + z,y -z) uma transformação linear. Se α = {(1,1,1), (1,0,1), (-1,2,1)} e β = {(1,0), (1,1)} são bases de R3 e R2, respectivamente, assinale a alternativa que exibe a matriz de T em relação as bases α e β, denotada por [T]β,α
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com transformações lineares, que são funções que passam vetores de um espaço vetorial para outro de forma que respeitam as operações de adição e multiplicação por escalar. Aqui, temos uma transformação linear $ T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 $ definida por $ T(x, y, z) = (x + z, y - z) $.
Nosso objetivo é encontrar a matriz dessa transformação em relação às bases dadas:
- Base $ \alpha = {(1,1,1), (1,0,1), (-1,2,1)} $ para $ \mathbb{R}^3 $
- Base $ \beta = {(1,0), (1,1)} $ para $ \mathbb{R}^2 $
Para isso, vamos precisar aplicar a transformação $ T $ a cada vetor da base $ \alpha $ e expressar o resultado na base $ \beta $.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformação $ T $ a cada vetor da base $ \alpha $. Isso significa que vamos calcular $ T(v) $ para cada $ v $ em $ \alpha $.
Vamos lá:
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Para $ v_1 = (1, 1, 1) $:
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Para $ v_2 = (1, 0, 1) $:
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Para $ v_3 = (-1, 2, 1) $:
Agora, temos os resultados de $ T $ aplicados a cada vetor de $ \alpha $:
Passo 3
Agora, precisamos expressar cada um desses vetores resultantes $ T(v_i) $ na base $ \beta $. Isso significa encontrar coeficientes $ a $ e $ b $ tais que:
Vamos resolver isso para cada $ T(v_i) $:
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Para $ T(v_1) = (2, 0) $:Da segunda equação, $ b = 0 $. Substituindo na primeira, $ a = 2 $.
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Para $ T(v_2) = (2, -1) $:Da segunda equação, $ b = -1 $. Substituindo na primeira, $ a = 3 $.
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Para $ T(v_3) = (0, 1) $:Da segunda equação, $ b = 1 $. Substituindo na primeira, $ a = -1 $.
Então, os vetores $ T(v_i) $ expressos na base $ \beta $ são:
Passo 4
Agora que temos os vetores resultantes de $ T(v_i) $ expressos na base $ \beta $, podemos montar a matriz da transformação $ [T]_{\beta,\alpha} $.
Para isso, colocamos cada vetor $ [T(v_i)]_\beta $ como uma coluna na matriz:
Resposta
A matriz da transformação linear $ T $ em relação às bases $ \alpha $ e $ \beta $ é: