Sabe-se que 80 \% dos clientes de uma agência bancária são membros da comunidade acadêmica de certa universidade. Se, ao longo de uma jornada diária, um caixa da agência atendeu a 28 clientes,
determine a probabilidade de que exatamente 22 clientes, dentre os atendidos pelo caixa, pertençam à comunidade acadêmica da universidade.

Passo 1

O enunciado diz que cada cliente atendido tem probabilidade p=0,8 de pertencer à comunidade acadêmica, de modo independente, e que foram atendidos n=28 clientes. Queremos a probabilidade de exatamente 22 desses pertencerem à comunidade. O conteúdo envolvido é a distribuição binomial.

Passo 2

Definimos a variável aleatória X como o número de clientes, dentre os 28, que são da comunidade acadêmica. Então
X\sim \mathrm{Binomial}(n=28,\;p=0,8).

Passo 3

Para uma binomial, a probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}.
Aqui k=22, n=28 e 1-p=0,2.

Passo 4

Calculamos
\binom{28}{22} =\binom{28}{6} =\frac{28\times27\times26\times25\times24\times23}{6!} =376740.
Logo
P(X=22) =376740\,(0,8)^{22}\,(0,2)^{6}.
Se quisermos um valor aproximado,
P(X=22)\approx0,178.

Resposta

P(X=22) =\binom{28}{22}(0,8)^{22}(0,2)^{6} \approx0,178.

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