Sabe-se que a capacidade de carga W , de um mancal de deslizamento depende do diâmetro, D, do comprimento, I, da folgam c, além da velocidade angular, omega, e da viscosidade do lubrificante, mu, no mancal. Determine os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem que descobrir quais parâmetros adimensionais caracterizam a capacidade de carga de um mancal de deslizamento. Isso envolve variáveis como diâmetro , comprimento , folga , velocidade angular , e viscosidade do lubrificante. Para resolver isso, vamos usar a Análise Dimensional, especificamente o Teorema de Buckingham Pi, que ajuda a encontrar combinações sem dimensão dessas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as variáveis envolvidas e as suas dimensões básicas. Isso vai nos ajudar a identificar como elas se relacionam.
  • (Capacidade de carga): [M L T⁻²]
  • (Diâmetro): [L]
  • (Comprimento): [L]
  • (Folga): [L]
  • (Velocidade angular): [T⁻¹]
  • (Viscosidade): [M L⁻¹ T⁻¹]
Aqui, usamos as dimensões básicas:
  • M: Massa
  • L: Comprimento
  • T: Tempo

Passo 3

Agora, vamos contar quantas variáveis independentes temos e quantas dimensões básicas estamos trabalhando. Temos 6 variáveis ( ) e 3 dimensões (M, L, T). Segundo o Teorema de Buckingham Pi, o número de parâmetros adimensionais será igual ao número de variáveis menos o número de dimensões. Então:
Número de Pi’s = 6 - 3 = 3
Ou seja, vamos precisar de 3 grupos adimensionais para caracterizar o problema.

Passo 4

Vamos escolher as variáveis repetidas, que geralmente incluem todas as dimensões básicas. Aqui, escolhemos Pi1 = Wmu^a D^b omega^c , Pi1 = Wmu omega D^2 , e Pi2 = cD como nossas variáveis repetidas.
Agora, construímos os grupos Pi. Cada Pi é uma combinação das variáveis que resultam em algo sem dimensão.
Primeiro Pi ( Pi3 = ID ):
Precisamos ajustar os expoentes para tornar sem dimensão. Resolvendo as dimensões, encontramos que:
Segundo Pi ( ):
Terceiro Pi ( ):

Passo 5

Então, juntando tudo, os parâmetros adimensionais que caracterizam o problema são:

Resposta

Os parâmetros adimensionais que caracterizam o problema são:
Pi1 = Wmu omega D^2
Pi2 = cD
Pi3 = ID

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