O setor de tornearia de uma fábrica dispõe de três tornos. A probabilidade de um torno necessitar de reparos em um dia de operação é de 5%. Estando em reparo, este torno tem probabilidade de
voltar a funcionar no dia seguinte. A operação diária com um torno gera um lucro de 200 [R$]. Estando em reparo, gera uma despesa de
ao dia. Responda as questőes a seguir ( 2,5 pontos):
Determine o estado de equilibrio (a partir da equação de equilibrio) e o número esperado de tornos em funcionamento para este estado;
Determine o estado de equilibrio (a partir da equação de equilibrio) e o número esperado de tornos em funcionamento para este estado;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um setor de tornearia com três tornos. Cada torno tem uma chance de 5% de precisar de reparo em um dia de operação. Se estiver em reparo, há 25% de chance de ele voltar a funcionar no dia seguinte. Além disso, operar um torno gera um lucro de R$200 por dia, e estar em reparo gera uma despesa de R$250 por dia. O que precisamos fazer aqui é determinar o estado de equilíbrio do sistema e calcular o número esperado de tornos em funcionamento nesse estado. Vamos usar conceitos de cadeias de Markov para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os estados do sistema. Como temos três tornos, cada um pode estar funcionando ou em reparo. Porém, para simplificar, vamos considerar o número total de tornos funcionando em um dado dia. Assim, os possíveis estados são:
- Estado 0: 0 tornos funcionando.
- Estado 1: 1 torno funcionando.
- Estado 2: 2 tornos funcionando.
- Estado 3: 3 tornos funcionando.
Passo 3
Agora, vamos identificar as probabilidades de transição entre esses estados. Para isso, precisamos calcular a probabilidade de um torno parar de funcionar e a probabilidade de um torno em reparo voltar a funcionar.
- Probabilidade de um torno parar de funcionar: 5% ou 0,05.
- Probabilidade de um torno em reparo voltar a funcionar: 25% ou 0,25.
Como os tornos atuam de forma independente, podemos usar essas probabilidades para calcular as transições entre os diferentes estados.
Passo 4
Vamos montar o sistema de equações de equilíbrio. No estado de equilíbrio, a probabilidade de estar em cada estado não muda mais, ou seja, as entradas e saídas de cada estado se equilibram.
Vamos chamar as probabilidades de estar em cada estado de $ \pi_0, \pi_1, \pi_2, \pi_3 $.
As equações de equilíbrio ficam:
-
$ \pi_0 = \pi_1 \times 0,05 $
(Apenas no estado 1 pode haver transição para o estado 0 se o único torno funcionando parar de operar.) -
$ \pi_1 = \pi_0 \times 0,25 + \pi_2 \times 0,10 $
(Podemos chegar ao estado 1 a partir do estado 0 se um torno voltar a funcionar, ou do estado 2 se um torno parar de funcionar.) -
$ \pi_2 = \pi_1 \times 0,95 + \pi_3 \times 0,15 $
(Chegamos ao estado 2 a partir do estado 1 se o torno funcionar, ou do estado 3 se um torno parar de funcionar.) -
$ \pi_3 = \pi_2 \times 0,90 $
(No estado 3, podemos chegar ao mesmo se nenhum dos tornos parar de funcionar.)
Além disso, sabemos que todas as probabilidades devem somar 1:
- $ \pi_0 + \pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1 $
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.
-
Da equação 1: $ \pi_0 = 0,05 \pi_1 $
-
Da equação 4: $ \pi_3 = 0,90 \pi_2 $
-
Substituindo $ \pi_3 $ na equação 3:
$ \pi_2 = 0,95 \pi_1 + 0,15 \times 0,90 \pi_2 $
$ \pi_2 = 0,95 \pi_1 + 0,135 \pi_2 $
$ \pi_2 - 0,135 \pi_2 = 0,95 \pi_1 $
$ 0,865 \pi_2 = 0,95 \pi_1 $
$ \pi_2 = \frac{0,95}{0,865} \pi_1 $
$ \pi_2 \approx 1,098 \pi_1 $ -
Da equação 2:
$ \pi_1 = 0,25 \pi_0 + 0,10 \pi_2 $
Substituindo $ \pi_0 = 0,05 \pi_1 $ e $ \pi_2 \approx 1,098 \pi_1 $:
$ \pi_1 = 0,25 \times 0,05 \pi_1 + 0,10 \times 1,098 \pi_1 $
$ \pi_1 = 0,0125 \pi_1 + 0,1098 \pi_1 $
$ \pi_1 = 0,1223 \pi_1 $
Isso só é possível se $ \pi_1 = 0 $. Porém, isso levaria todas as outras probabilidades a zero, o que não faz sentido. Parece que houve um erro na montagem das equações de transição.
Passo 6
Vamos revisitar as equações de transição para garantir que estão corretas. É possível que tenhamos simplificado demais ou errado algum passo.
- Estado 0 para Estado 1: A única forma de sair do estado 0 é se um torno voltar de reparo. Como todos os tornos estão em reparo no estado 0, a probabilidade de voltar a funcionar para cada torno é 25%. Porém, para um, dois ou três tornos voltarem, precisamos considerar todas as possibilidades.
Esse tipo de problema pode ser complexo para resolver manualmente, então, para simplificar, vamos assumir que estamos trabalhando com um turno diário e calcular as probabilidades de transição diretamente.
No entanto, devido à complexidade, é mais eficiente utilizar métodos matriciais ou computacionais para resolver o sistema exato. Para manter a didática, vamos considerar uma aproximação onde, em equilíbrio, a taxa de entrada e saída de tornos funcionando é igual.
Vamos calcular a probabilidade média de um torno estar funcionando.
Passo 7
Vamos calcular a probabilidade estacionária de um único torno estar funcionando.
- Probabilidade de estar funcionando: $ p $
- Probabilidade de estar em reparo: $ 1 - p $
No estado de equilíbrio:
- A probabilidade de um torno que está funcionando parar de funcionar é 5%, ou seja, $ p \times 0,05 $.
- A probabilidade de um torno que está em reparo voltar a funcionar é 25%, ou seja, $ (1 - p) \times 0,25 $.
No equilíbrio, essas duas probabilidades devem ser iguais:
Vamos resolver essa equação para encontrar $ p $.
Passo 8
Resolvendo a equação:
Somando $ 0,25p $ em ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 0,30:
Passo 9
Agora que temos a probabilidade estacionária de um único torno estar funcionando ($ p \approx 0,833 $), podemos calcular o número esperado de tornos em funcionamento entre os três disponíveis.
O número esperado ($ E $) é dado por:
Onde $ n = 3 $ tornos.
Substituindo:
Resposta
No estado de equilíbrio, o número esperado de tornos em funcionamento é de aproximadamente 2,5 tornos.