Se X sim b(n, p), sabendo-se que E(X)=12 e Var(X)=3, determinar:
e) P(X>4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição binomial, representada por $ X \sim b(n, p) $. Sabemos que a esperança matemática $ E(X) = 12 $ e a variância $ \operatorname{Var}(X) = 3 $. Nosso objetivo aqui é encontrar a probabilidade de $ X $ ser maior que 4, ou seja, $ P(X > 4) $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ X \sim b(n, p) $. Isso quer dizer que $ X $ representa o número de sucessos em $ n $ tentativas independentes, onde cada tentativa tem uma probabilidade $ p $ de sucesso.

Passo 3

Sabemos que a esperança matemática de uma distribuição binomial é dada por:
E(X) = n cdot p
E a variância é:
Var(X) = n cdot p cdot (1 - p)
Aqui, nos disseram que $ E(X) = 12 $ e $ \operatorname{Var}(X) = 3 $. Vamos usar essas informações para encontrar $ n $ e $ p $.

Passo 4

Usando a esperança:
12 = n cdot p (1)
E a variância:
3 = n cdot p cdot (1 - p) (2)
Vamos dividir a equação (2) pela equação (1) para eliminar $ n \cdot p $:
n cdot p
Então:
312 = n cdot p cdot (1 - p)n cdot p Rightarrow 14 = 1 - p

Passo 5

Agora que temos $ p = \frac{3}{4} $, vamos substituir na equação (1) para encontrar $ n $:
p = 34
Então, $ n = 16 $ e $ p = \frac{3}{4} $.

Passo 6

Queremos calcular $ P(X > 4) $. Sabemos que:
P(X > 4)
Então, precisamos encontrar a probabilidade de $ X $ ser no máximo 4 e subtrair esse valor de 1.

Passo 7

Para calcular $ P(X \leq 4) $ em uma distribuição binomial, somamos as probabilidades de $ X $ ser igual a 0, 1, 2, 3 e 4:
P(X <= 4)
Vamos calcular cada termo:
  • Para $ k = 0 $:
X
  • Para $ k = 1 $:
P(X <= 4) = sumk=0^4 binom16k (34)^k (14)^16 - k
  • Para $ k = 2 $:
k = 0
  • Para $ k = 3 $:
binom160 (34)^0 (14)^16 = 1 cdot 1 cdot (14)^16 approx 1.5259 times 10^-10
  • Para $ k = 4 $:
k = 1

Passo 8

Somando todas essas probabilidades:
P(X <= 4) approx 1.5259 times 10^-10 + 1.2207 times 10^-8 + 5.4973 times 10^-7 + 1.2213 times 10^-5 + 2.9588 times 10^-4 approx 0.000306

Passo 9

Agora, retornando a probabilidade que queremos:
P(X > 4) = 1 - P(X <= 4) approx 1 - 0.000306 = 0.999694
Então, a probabilidade de $ X $ ser maior que 4 é aproximadamente 0,9997 ou 99,97%.

Resposta

$ P(X > 4) \approx 0,9997 $ ou $ 99,97% $.

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