Se
, sabendo-se que
e
, determinar:
e)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição binomial, representada por $ X \sim b(n, p) $. Sabemos que a esperança matemática $ E(X) = 12 $ e a variância $ \operatorname{Var}(X) = 3 $. Nosso objetivo aqui é encontrar a probabilidade de $ X $ ser maior que 4, ou seja, $ P(X > 4) $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ X \sim b(n, p) $. Isso quer dizer que $ X $ representa o número de sucessos em $ n $ tentativas independentes, onde cada tentativa tem uma probabilidade $ p $ de sucesso.
Passo 3
Sabemos que a esperança matemática de uma distribuição binomial é dada por:
E a variância é:
Aqui, nos disseram que $ E(X) = 12 $ e $ \operatorname{Var}(X) = 3 $. Vamos usar essas informações para encontrar $ n $ e $ p $.
Passo 4
Usando a esperança:
E a variância:
Vamos dividir a equação (2) pela equação (1) para eliminar $ n \cdot p $:
Então:
Passo 5
Agora que temos $ p = \frac{3}{4} $, vamos substituir na equação (1) para encontrar $ n $:
Então, $ n = 16 $ e $ p = \frac{3}{4} $.
Passo 6
Queremos calcular $ P(X > 4) $. Sabemos que:
Então, precisamos encontrar a probabilidade de $ X $ ser no máximo 4 e subtrair esse valor de 1.
Passo 7
Para calcular $ P(X \leq 4) $ em uma distribuição binomial, somamos as probabilidades de $ X $ ser igual a 0, 1, 2, 3 e 4:
Vamos calcular cada termo:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
- Para $ k = 3 $:
- Para $ k = 4 $:
Passo 8
Somando todas essas probabilidades:
Passo 9
Agora, retornando a probabilidade que queremos:
Então, a probabilidade de $ X $ ser maior que 4 é aproximadamente 0,9997 ou 99,97%.
Resposta
$ P(X > 4) \approx 0,9997 $ ou $ 99,97% $.