Sabendo que f: R R é derivável e que f(0)=1, f(1)=2, f(2)=-1, podemos afirmar que:
As outras alternativas estão incorretas square f é decrescente em R
Existe x entre 0 e 1 tal que f^prime(x)=1 Existe x entre 1 e 2 tal que f^prime(x)=-1 f não admite ponto de máximo em R square f é crescente em R
Não existe x entre 1 e 2 tal que f^prime(x)=1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ que é derivável, ou seja, tem derivada em todos os números reais. Sabemos que $ f(0) = 1 $, $ f(1) = 2 $ e $ f(2) = -1 $. A questão quer que a gente analise essas informações para determinar qual das alternativas apresentadas é correta. Para isso, vamos usar o teorema do valor médio e conceitos básicos de derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema do Valor Médio. Esse teorema diz que se uma função é contínua em um intervalo [a, b] e derivável no intervalo aberto (a, b), então existe pelo menos um ponto $ c $ em c onde a derivada $ f’© $ é igual à inclinação da reta secante que liga os pontos (a, b) e f'(c) . Matematicamente, isso é:
(a, f(a))
Vamos aplicar isso para os intervalos dados.

Passo 3

Primeiro, vamos considerar o intervalo de $ 0 $ a $ 1 $:
  • $ f(0) = 1 $
  • $ f(1) = 2 $
A inclinação da reta secante é:
0
Então, pelo Teorema do Valor Médio, existe pelo menos um ponto $ x $ em $ (0, 1) $ tal que $ f’(x) = 1 $.

Passo 4

Agora, vamos olhar para o intervalo de $ 1 $ a $ 2 $:
  • $ f(1) = 2 $
  • $ f(2) = -1 $
A inclinação da reta secante é:
1
Pelo Teorema do Valor Médio, existe pelo menos um ponto $ x $ em $ (1, 2) $ tal que $ f’(x) = -3 $.

Passo 5

Agora, vamos analisar as alternativas:
  1. $ f $ é decrescente em $ \mathbb{R} $: Não, porque vimos que em f a derivada é positiva (função está aumentando) e em R a derivada é negativa (função está diminuindo). Então, a função não é decrescente em todo o domínio.
  2. Existe $ x $ entre 0 e 1 tal que $ f^{\prime}(x) = 1 $: Sim, conforme mostramos no Passo 3.
  3. Existe $ x $ entre 1 e 2 tal que $ f^{\prime}(x) = -1 $: Não necessariamente. Pelo Teorema do Valor Médio, sabemos que $ f’(x) = -3 $ em algum ponto, mas não garante que exista um ponto onde $ f’(x) = -1 $.
  4. $ f $ não admite ponto de máximo em $ \mathbb{R} $: Não podemos afirmar isso apenas com as informações dadas. A função pode ter máximos locais ou globais em outros intervalos.
  5. $ f $ é crescente em $ \mathbb{R} $: Também não, já que em (0,1) a derivada é negativa, indicando que a função está diminuindo.
  6. Não existe $ x $ entre 1 e 2 tal que $ f^{\prime}(x) = 1 $: Isso é verdade, já que concluímos que $ f’(x) = -3 $ nesse intervalo, não 1.

Resposta

A alternativa correta é: Existe $ x $ entre 0 e 1 tal que $ f^{\prime}(x) = 1 $.

Exercícios relacionados