Sabendo que
é derivável e que
, podemos afirmar que:
As outras alternativas estão incorretas
é decrescente em
Existe
entre 0 e 1 tal que
Existe
entre 1 e 2 tal que
não admite ponto de máximo em
é crescente em
Não existe
entre 1 e 2 tal que
As outras alternativas estão incorretas
Existe
Não existe
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ que é derivável, ou seja, tem derivada em todos os números reais. Sabemos que $ f(0) = 1 $, $ f(1) = 2 $ e $ f(2) = -1 $. A questão quer que a gente analise essas informações para determinar qual das alternativas apresentadas é correta. Para isso, vamos usar o teorema do valor médio e conceitos básicos de derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema do Valor Médio. Esse teorema diz que se uma função é contínua em um intervalo
e derivável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto $ c $ em
onde a derivada $ f’© $ é igual à inclinação da reta secante que liga os pontos
e
. Matematicamente, isso é:
Vamos aplicar isso para os intervalos dados.
Passo 3
Primeiro, vamos considerar o intervalo de $ 0 $ a $ 1 $:
- $ f(0) = 1 $
- $ f(1) = 2 $
A inclinação da reta secante é:
Então, pelo Teorema do Valor Médio, existe pelo menos um ponto $ x $ em $ (0, 1) $ tal que $ f’(x) = 1 $.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o intervalo de $ 1 $ a $ 2 $:
- $ f(1) = 2 $
- $ f(2) = -1 $
A inclinação da reta secante é:
Pelo Teorema do Valor Médio, existe pelo menos um ponto $ x $ em $ (1, 2) $ tal que $ f’(x) = -3 $.
Passo 5
Agora, vamos analisar as alternativas:
-
$ f $ é decrescente em $ \mathbb{R} $: Não, porque vimos que em
a derivada é positiva (função está aumentando) e em a derivada é negativa (função está diminuindo). Então, a função não é decrescente em todo o domínio. -
Existe $ x $ entre 0 e 1 tal que $ f^{\prime}(x) = 1 $: Sim, conforme mostramos no Passo 3.
-
Existe $ x $ entre 1 e 2 tal que $ f^{\prime}(x) = -1 $: Não necessariamente. Pelo Teorema do Valor Médio, sabemos que $ f’(x) = -3 $ em algum ponto, mas não garante que exista um ponto onde $ f’(x) = -1 $.
-
$ f $ não admite ponto de máximo em $ \mathbb{R} $: Não podemos afirmar isso apenas com as informações dadas. A função pode ter máximos locais ou globais em outros intervalos.
-
$ f $ é crescente em $ \mathbb{R} $: Também não, já que em
a derivada é negativa, indicando que a função está diminuindo. -
Não existe $ x $ entre 1 e 2 tal que $ f^{\prime}(x) = 1 $: Isso é verdade, já que concluímos que $ f’(x) = -3 $ nesse intervalo, não 1.
Resposta
A alternativa correta é: Existe $ x $ entre 0 e 1 tal que $ f^{\prime}(x) = 1 $.