Sabe-se que A=[lllx & 1 & 2 3 & y & 5 2 & 3 & z], B=(bi j) é uma matriz diagonal (bi j=0 se i neq j)
e A B=[rrr2 & 3 & 10 6 & 12 & 25 4 & 9 & 20]. Determine os valores de x, y e z.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear que envolve multiplicação de matrizes. Temos duas matrizes, A e B , onde B é uma matriz diagonal. Nosso objetivo é encontrar os valores de x , y e z na matriz A sabendo que o produto A times B resulta em uma matriz específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz diagonal. Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Ou seja, bij = 0 para i neq j . Isso simplifica bastante a multiplicação de matrizes.

Passo 3

Sabemos que o produto de duas matrizes A times B resulta em uma nova matriz. No caso de B ser diagonal, a multiplicação A times B significa que cada coluna da matriz A é multiplicada pelo respectivo elemento da diagonal de B . Matemáticamente, isso fica:
A times B = x cdot b11 & 1 cdot b22 & 2 cdot b33 3 cdot b11 & y cdot b22 & 5 cdot b33 2 cdot b11 & 3 cdot b22 & z cdot b33

Passo 4

Igualando o produto A times B à matriz dada:
x cdot b11 & 1 cdot b22 & 2 cdot b33 3 cdot b11 & y cdot b22 & 5 cdot b33 2 cdot b11 & 3 cdot b22 & z cdot b33 = 2 & 3 & 10 6 & 12 & 25 4 & 9 & 20
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. x cdot b11 = 2
  2. 1 cdot b22 = 3
  3. 2 cdot b33 = 10
  4. 3 cdot b11 = 6
  5. y cdot b22 = 12
  6. 5 cdot b33 = 25
  7. 2 cdot b11 = 4
  8. 3 cdot b22 = 9
  9. z cdot b33 = 20

Passo 5

Resolvendo as equações para encontrar b11 , b22 e b33 :
  • Da equação 4: 3 cdot b11 = 6 Rightarrow b11 = 2
  • Da equação 2: b22 = 3
  • Da equação 3: 2 cdot b33 = 10 Rightarrow b33 = 5

Passo 6

Agora, usando os valores encontrados de b11 , b22 e b33 , podemos encontrar x , y e z :
  • Da equação 1: x cdot 2 = 2 Rightarrow x = 1
  • Da equação 5: y cdot 3 = 12 Rightarrow y = 4
  • Da equação 9: z cdot 5 = 20 Rightarrow z = 4

Resposta

Os valores são x = 1 , y = 4 e z = 4 .

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