Sabe-se que a média dos preços de certo produto, nos estabelecimentos comerciais de uma região, é de
78,00
\mathrm{R}
. Se uma amostra de 100 estabelecimentos dessa região for sorteada para avaliar o preço desse produto, qual é a probabilidade de que a média dessa amostra:
Esteja entre
77,00
\mathrm{R}
?
Esteja entre
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Média populacional:
. - Desvio padrão populacional:
. - Tamanho da amostra:
. - Pergunta: qual é a probabilidade de que a média amostral
esteja entre e , ou seja, calcular
Passo 2
Introdução da ideia que vamos usar (explicação didática).
Quando tiramos uma amostra de tamanho de uma população com média
e desvio padrão
, a média amostral
tem distribuição com média
e desvio padrão (erro padrão)
Quando tiramos uma amostra de tamanho
Isso vem da propriedade da média amostral: ela “centraliza” na média populacional e a dispersão diminui com
. Para amostras grandes (aqui
é grande), a distribuição de
é bem aproximada por uma normal — então podemos usar a normal padrão para calcular probabilidades. Nesta fórmula:
-
é a média da população, -
é o desvio padrão da população, -
é o tamanho da amostra, -
é o desvio padrão da média amostral (erro padrão).
Passo 3
Calcular o erro padrão com os valores dados:
Portanto
tem aproximadamente distribuição normal com média
e desvio padrão
.
Passo 4
Passar para a normal padrão. Calculamos os escore-z (padronização) para os limites
e
:
Assim
onde
é uma normal padrão.
Passo 5
Usar a simetria da normal padrão para simplificar:
onde
é a função de distribuição da normal padrão.
Para achar
consultamos uma tabela da normal padrão (ou calculadora). Da tabela:
e
. Fazendo uma interpolação linear para
(um terço do caminho entre
e
):
diferença . Um terço disso é aproximadamente
. Então
diferença
Passo 6
Calcular a probabilidade final:
Em porcentagem, isso corresponde a aproximadamente
.