Sabe-se que a média dos preços de certo produto, nos estabelecimentos comerciais de uma região, é de \mathrm{R} 78,00 com desvio padrão deã\mathrm{R} 12,00. Se uma amostra de 100 estabelecimentos dessa região for sorteada para avaliar o preço desse produto, qual é a probabilidade de que a média dessa amostra:
Esteja entre \mathrm{R} 77,00 e\mathrm{R} 79,00 ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Média populacional: \mu=78.
  • Desvio padrão populacional: \sigma=12.
  • Tamanho da amostra: n=100.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que a média amostral \bar{X} esteja entre \mathrm{R}\;77,00 e \mathrm{R}\;79,00, ou seja, calcular
P\bigl(77<\bar{X}<79\bigr).

Passo 2

Introdução da ideia que vamos usar (explicação didática).
Quando tiramos uma amostra de tamanho n de uma população com média \mu e desvio padrão \sigma, a média amostral \bar{X} tem distribuição com média \mu_{\bar{X}}=\mu e desvio padrão (erro padrão)
\sigma_{\bar{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Isso vem da propriedade da média amostral: ela “centraliza” na média populacional e a dispersão diminui com \sqrt{n}. Para amostras grandes (aqui n=100 é grande), a distribuição de \bar{X} é bem aproximada por uma normal — então podemos usar a normal padrão para calcular probabilidades. Nesta fórmula:
  • \mu é a média da população,
  • \sigma é o desvio padrão da população,
  • n é o tamanho da amostra,
  • \sigma_{\bar{X}} é o desvio padrão da média amostral (erro padrão).

Passo 3

Calcular o erro padrão com os valores dados:
\sigma_{\bar{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{12}{\sqrt{100}}=\dfrac{12}{10}=1,2.
Portanto \bar{X} tem aproximadamente distribuição normal com média 78 e desvio padrão 1,2.

Passo 4

Passar para a normal padrão. Calculamos os escore-z (padronização) para os limites 77 e 79:
z_1=\dfrac{77-78}{1,2}=-\dfrac{1}{1,2}=-\dfrac{5}{6}\approx-0,8333\ldots
z_2=\dfrac{79-78}{1,2}=+\dfrac{1}{1,2}=+\dfrac{5}{6}\approx+0,8333\ldots
Assim
P\bigl(77<\bar{X}<79\bigr)=P\bigl(z_1<Z<z_2\bigr)=P\bigl(-0,8333<Z<0,8333\bigr),
onde Z é uma normal padrão.

Passo 5

Usar a simetria da normal padrão para simplificar:
P\bigl(-0,8333<Z<0,8333\bigr)=2\Phi(0,8333)-1,
onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão.
Para achar \Phi(0,8333) consultamos uma tabela da normal padrão (ou calculadora). Da tabela: \Phi(0,83)=0,7967 e \Phi(0,84)=0,7995. Fazendo uma interpolação linear para 0,8333 (um terço do caminho entre 0,83 e 0,84):
diferença \,0,7995-0,7967=0,0028. Um terço disso é aproximadamente 0,00093. Então
\Phi(0,8333)\approx0,7967+0,00093=0,79763.

Passo 6

Calcular a probabilidade final:
P\bigl(77<\bar{X}<79\bigr)=2\cdot0,79763-1=0,59526\approx0,5953.
Em porcentagem, isso corresponde a aproximadamente 59,53\%.

Resposta

0,5953 (aprox. 59,53\%)

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