Sabe-se que uma moeda mostra a face cara quatro vezes mais do que a face coroa, quando lançada. Esta moeda é lançada 4 vezes. Seja a VAD X o número de caras que aparece, determine:
a) P(X >= 2).
b) P(1 <= X<3).
c) E(X) e V(X).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma moeda que, quando lançada, mostra a face “cara” quatro vezes mais do que a face “coroa”. Vamos lançar essa moeda 4 vezes e definir a variável aleatória $ X $ como o número de “caras” que aparecem. Precisamos calcular:
a) $ \mathrm{P}(\mathrm{X} \geq 2) $
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade relacionados à distribuição binomial, já que temos um número fixo de tentativas independentes (lançamentos da moeda) e duas possíveis saídas para cada tentativa (“cara” ou “coroa”).

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a probabilidade de obter “cara” em um único lançamento. Sabemos que a moeda mostra “cara” quatro vezes mais do que “coroa”. Vamos chamar $ p $ a probabilidade de “cara” e $ q $ a probabilidade de “coroa”.
Como $ p = 4q $ e $ p + q = 1 $, substituindo temos:
p
Portanto,
q

Passo 3

Agora que temos $ p = \frac{4}{5} $ e $ q = \frac{1}{5} $, podemos usar a fórmula da distribuição binomial para calcular $ \mathrm{P}(\mathrm{X} \geq 2) $.
A fórmula da distribuição binomial é:
p = 45
Onde:
  • $ C(n, k) $ é a combinação de $ n $ elementos tomados $ k $ a $ k $
  • $ n = 4 $ (número de lançamentos)
  • $ k $ é o número de “caras” que queremos
Para achar $ \mathrm{P}(X \geq 2) $, calculamos:
q = 15

Passo 4

Vamos calcular $ \mathrm{P}(X = 0) $ e $ \mathrm{P}(X = 1) $:
P(X = 0)
P(X = 1)

Passo 5

Somando as probabilidades encontradas:
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 1625 + 16625 = 17625
Então,
P(X >= 2) = 1 - 17625 = 608625 approx 0,9728

Resposta

a) $ \mathrm{P}(X \geq 2) = \frac{608}{625} \approx 0,9728 $

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