Sabe-se que uma moeda mostra a face cara quatro vezes mais do que a face coroa, quando lançada. Esta moeda é lançada 4 vezes. Seja a VAD X o número de caras que aparece, determine:
a)
.
b)
.
c)
e V(X).
a)
b)
c)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma moeda que, quando lançada, mostra a face “cara” quatro vezes mais do que a face “coroa”. Vamos lançar essa moeda 4 vezes e definir a variável aleatória $ X $ como o número de “caras” que aparecem. Precisamos calcular:
a) $ \mathrm{P}(\mathrm{X} \geq 2) $
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade relacionados à distribuição binomial, já que temos um número fixo de tentativas independentes (lançamentos da moeda) e duas possíveis saídas para cada tentativa (“cara” ou “coroa”).
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar a probabilidade de obter “cara” em um único lançamento. Sabemos que a moeda mostra “cara” quatro vezes mais do que “coroa”. Vamos chamar $ p $ a probabilidade de “cara” e $ q $ a probabilidade de “coroa”.
Como $ p = 4q $ e $ p + q = 1 $, substituindo temos:
Portanto,
Passo 3
Agora que temos $ p = \frac{4}{5} $ e $ q = \frac{1}{5} $, podemos usar a fórmula da distribuição binomial para calcular $ \mathrm{P}(\mathrm{X} \geq 2) $.
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
- $ C(n, k) $ é a combinação de $ n $ elementos tomados $ k $ a $ k $
- $ n = 4 $ (número de lançamentos)
- $ k $ é o número de “caras” que queremos
Para achar $ \mathrm{P}(X \geq 2) $, calculamos:
Passo 4
Vamos calcular $ \mathrm{P}(X = 0) $ e $ \mathrm{P}(X = 1) $:
Passo 5
Somando as probabilidades encontradas:
Então,
Resposta
a) $ \mathrm{P}(X \geq 2) = \frac{608}{625} \approx 0,9728 $