Seja uma transformação linear cuja matriz associada é:
onde A=-x+2, x-1 é uma base para P1(R) e B=(2,-1,0),(0,-1,1),(0,3,2) é uma base de R^3.
Ache a lei da transformação T.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear T que vai de P1(R) para R^3 . A matriz dessa transformação está dada em relação às bases A e B . Nosso objetivo é descobrir qual é a “lei” dessa transformação, ou seja, como T age sobre um polinômio qualquer de P1(R) . Para resolver isso, vamos precisar entender como usar a matriz da transformação e as bases fornecidas para encontrar a expressão de T .
Passo 2
Primeiro, vamos entender as bases envolvidas. A base A = -x + 2, x - 1 é uma base para P1(R) , que é o espaço dos polinômios de grau no máximo 1. Isso significa que qualquer polinômio p(x) em P1(R) pode ser escrito como uma combinação linear dessas duas funções.
A base B = (2,-1,0), (0,-1,1), (0,3,2) é uma base para R^3 . Isso significa que qualquer vetor em R^3 pode ser expresso como uma combinação linear desses três vetores.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a matriz da transformação [T]B^A :
[T]B^A = 1 & 3 2 & 1 -1 & 2
Essa matriz nos diz como a transformação T age nos vetores coordenados em relação à base A e mapeia para a base B . Mais especificamente, se tivermos um polinômio p(x) com coordenadas c1 c2 em A , então T(p(x)) terá coordenadas [T]B^A c1 c2 em B .
Passo 4
Vamos considerar um polinômio genérico p(x) em P1(R) . Podemos escrevê-lo como:
p(x) = c1(-x + 2) + c2(x - 1)
Aqui, c1 e c2 são os coeficientes que precisamos encontrar para cada polinômio específico.