Seja T: P1(R) R^3 uma transformação linear cuja matriz associada é:
[T]B^A[rr 1 & 3 2 & 1 -1 & 2 ]
onde A=-x+2, x-1 é uma base para P1(R) e B=(2,-1,0),(0,-1,1),(0,3,2) é uma base de R^3.
Ache a lei da transformação T.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear T que vai de P1(R) para R^3 . A matriz dessa transformação está dada em relação às bases A e B . Nosso objetivo é descobrir qual é a “lei” dessa transformação, ou seja, como T age sobre um polinômio qualquer de P1(R) . Para resolver isso, vamos precisar entender como usar a matriz da transformação e as bases fornecidas para encontrar a expressão de T .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as bases envolvidas. A base A = -x + 2, x - 1 é uma base para P1(R) , que é o espaço dos polinômios de grau no máximo 1. Isso significa que qualquer polinômio p(x) em P1(R) pode ser escrito como uma combinação linear dessas duas funções.
A base B = (2,-1,0), (0,-1,1), (0,3,2) é uma base para R^3 . Isso significa que qualquer vetor em R^3 pode ser expresso como uma combinação linear desses três vetores.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a matriz da transformação [T]B^A :
[T]B^A = 1 & 3 2 & 1 -1 & 2
Essa matriz nos diz como a transformação T age nos vetores coordenados em relação à base A e mapeia para a base B . Mais especificamente, se tivermos um polinômio p(x) com coordenadas c1 c2 em A , então T(p(x)) terá coordenadas [T]B^A c1 c2 em B .

Passo 4

Vamos considerar um polinômio genérico p(x) em P1(R) . Podemos escrevê-lo como:
p(x) = c1(-x + 2) + c2(x - 1)
Aqui, c1 e c2 são os coeficientes que precisamos encontrar para cada polinômio específico.

Passo 5

Aplicando a transformação T , temos:
T(p(x)) = [T]B^A c1 c2 = 1 & 3 2 & 1 -1 & 2 c1 c2
Fazendo a multiplicação das matrizes:
T(p(x)) = 1 cdot c1 + 3 cdot c2 2 cdot c1 + 1 cdot c2 -1 cdot c1 + 2 cdot c2 = c1 + 3c2 2c1 + c2 - c1 + 2c2

Passo 6

Agora, para expressar T(p(x)) em termos da base B , usamos que:
T(p(x)) = (c1 + 3c2)(2,-1,0) + (2c1 + c2)(0,-1,1) + (-c1 + 2c2)(0,3,2)
Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. (c1 + 3c2)(2,-1,0) = (2(c1 + 3c2), -1(c1 + 3c2), 0) = (2c1 + 6c2, -c1 - 3c2, 0)
  2. (2c1 + c2)(0,-1,1) = (0, -1(2c1 + c2), 1(2c1 + c2)) = (0, -2c1 - c2, 2c1 + c2)
  3. (-c1 + 2c2)(0,3,2) = (0, 3(-c1 + 2c2), 2(-c1 + 2c2)) = (0, -3c1 + 6c2, -2c1 + 4c2)

Passo 7

Somando esses três vetores:
T(p(x)) = (2c1 + 6c2 + 0 + 0, -c1 - 3c2 - 2c1 - c2 -3c1 + 6c2, 0 + 2c1 + c2 -2c1 + 4c2)
Simplificando cada componente:
  1. x -componente: 2c1 + 6c2
  2. y -componente: -c1 - 3c2 - 2c1 - c2 -3c1 + 6c2 = (-c1 - 2c1 -3c1) + (-3c2 - c2 +6c2) = -6c1 + 2c2
  3. z -componente: 0 + 2c1 + c2 -2c1 + 4c2 = (2c1 -2c1) + (c2 + 4c2) = 5c2

Passo 8

Então, finalmente, temos:
T(p(x)) = (2c1 + 6c2, -6c1 + 2c2, 5c2)

Resposta

A lei da transformação T é dada por:
T(c1, c2) = (2c1 + 6c2, -6c1 + 2c2, 5c2)

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