Sabe-se que o saldo mensal final dos clientes de um certo banco é uma variável aleatória com distribuição normal com média de
e desvio padrão de
. Selecionando-se aleatoriamente um desses clientes, determine:
(a) A probabilidade do saldo mensal final desse cliente estar entre
(a) A probabilidade do saldo mensal final desse cliente estar entre
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que fala sobre os saldos mensais de clientes de um banco. Esses saldos seguem uma distribuição normal (que é aquela famosa curva em forma de sino) com uma média de R$ 2.000,00 e um desvio padrão de R$ 250,00. O que queremos descobrir é qual a probabilidade de, se a gente escolher um cliente aleatoriamente, o saldo dele estar entre R$ 1.800,00 e R$ 2.100,00. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e aos chamados escores z.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um escore z. Basicamente, o z-score nos ajuda a saber quantos desvios padrão um valor está distante da média. Isso é útil porque nos permite usar tabelas de distribuição normal padrão para encontrar probabilidades.
A fórmula para calcular o z-score é:
Onde:
- $ X $ é o valor que estamos analisando.
- $ \mu $ é a média da distribuição.
- $ \sigma $ é o desvio padrão.
Passo 3
Vamos calcular os z-scores para os dois valores que nos interessam: R$ 1.800,00 e R$ 2.100,00.
Para R$ 1.800,00:
Para R$ 2.100,00:
Passo 4
Agora que temos os z-scores, queremos encontrar a probabilidade de o saldo estar entre esses dois valores. Isso é equivalente a encontrar a área sob a curva normal entre $ z_1 = -0,8 $ e $ z_2 = 0,4 $.
Usamos uma tabela de distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes a esses z-scores.
- Para $ z_1 = -0,8 $, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,2119.
- Para $ z_2 = 0,4 $, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,6554.
Passo 5
A probabilidade de estar entre R$ 1.800,00 e R$ 2.100,00 é a diferença entre as duas probabilidades que encontramos:
Isso significa que há uma chance de 44,35% de o saldo mensal final de um cliente estar nessa faixa.
Resposta
A probabilidade do saldo mensal final estar entre R$ 1.800,00 e R$ 2.100,00 é de 44,35%.