Sabe-se que o tempo de duração dos motores dos carros de uma certa marca têm distribuição normal com média de 150.000 km e desvio-padrão de 5.000 km . Qual a probabilidade de que um desses carros, escolhidos ao acaso, tenha um motor que dure:
© No mínimo 190.000 km .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre a duração dos motores de carros que segue uma distribuição normal. A média (o valor central) é de 150.000 km e o desvio-padrão (que mostra o quanto os valores podem variar) é de 5.000 km. A pergunta é: qual a chance de um carro escolhido aleatoriamente ter um motor que dure pelo menos 190.000 km? Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e Z-score.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Z-score. Ele nos ajuda a transformar um valor específico da distribuição normal em um valor na distribuição normal padrão, que tem média 0 e desvio-padrão 1. A fórmula para calcular o Z-score é:
Z = X - musigma
Onde:
  • $ X $ é o valor que queremos analisar (190.000 km),
  • $ \mu $ é a média (150.000 km),
  • $ \sigma $ é o desvio-padrão (5.000 km).

Passo 3

Vamos calcular o Z-score com os valores que temos:
Z = 190.000 - 150.0005.000 = 40.0005.000 = 8
Então, o Z-score é 8. Isso significa que 190.000 km está 8 desvios-padrão acima da média.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de $ Z $ ser maior ou igual a 8, ou seja, $ P(Z \geq 8) $. Geralmente, usamos tabelas de distribuição normal padrão ou calculadoras para encontrar essa probabilidade.

Passo 5

Quando olhamos para uma tabela de distribuição normal padrão, vemos que ela geralmente cobre valores de Z até cerca de 3.9. Um Z de 8 está muito além disso. Na prática, a probabilidade de $ Z \geq 8 $ é praticamente zero. Isso porque, na distribuição normal, eventos tão extremos são extremamente raros.

Resposta

A probabilidade de um carro escolhido aleatoriamente ter um motor que dure no mínimo 190.000 km é praticamente 0%.

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