Sabe-se que a seguinte matriz tem posto 3 :
A=[cccccc 2 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 1 a & b & c & d & e & f g & h & i & j & l & m ]
Sejam v1, v2, v3, v4, v5 os vetores do R^6 que representam (em ordem) as linhas de A. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
(e) Pode-se afirmar que v1, v2, v3 formam uma base para o espaço de linhas L(A).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz AinR^5times6 de posto 3 e define v1,dots,v5 como suas linhas. A parte (e) pergunta se v1,v2,v3 formam uma base para o espaço de linhas L(A). Vamos usar o fato de que a dimensão de L(A) é igual ao posto de A.

Passo 2

Como posto(A)=3, segue que
dimL(A)=3
Assim, qualquer base de L(A) deve ter exatamente 3 vetores linearmente independentes.

Passo 3

Para verificar se v1,v2,v3 são independentes, observamos o menor formado pelas colunas 1,2 e 3 das três primeiras linhas:
M = 2 & 1 & 0 0 & 5 & 3 0 & 0 & -2
Como
det(M) = 2 cdot 5 cdot (-2) = -20 neq 0,
essas três linhas são linearmente independentes.

Passo 4

Tendo três vetores independentes em um espaço de dimensão 3, concluímos que v1,v2,v3 formam de fato uma base de L(A).

Resposta

Verdadeira.

Exercícios relacionados