Sejam v1, v2, v3, v4, v5 os vetores do R^6 que representam (em ordem) as linhas de A. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
(e) Pode-se afirmar que v1, v2, v3 formam uma base para o espaço de linhas L(A).
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz AinR^5times6 de posto 3 e define v1,dots,v5 como suas linhas. A parte (e) pergunta se v1,v2,v3 formam uma base para o espaço de linhas L(A). Vamos usar o fato de que a dimensão de L(A) é igual ao posto de A.
Passo 2
Como posto(A)=3, segue que
dimL(A)=3
Assim, qualquer base de L(A) deve ter exatamente 3 vetores linearmente independentes.
Passo 3
Para verificar se v1,v2,v3 são independentes, observamos o menor formado pelas colunas 1,2 e 3 das três primeiras linhas:
M = 2 & 1 & 0 0 & 5 & 3 0 & 0 & -2
Como
det(M) = 2 cdot 5 cdot (-2) = -20 neq 0,
essas três linhas são linearmente independentes.
Passo 4
Tendo três vetores independentes em um espaço de dimensão 3, concluímos que v1,v2,v3 formam de fato uma base de L(A).