seja igual ao plano pi do R^3 dado pela equação 2 X1+3 X2-X3=0. Com base nisso, decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(b) Pode-se afirmar que a nulidade de A é igual a 1.
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz A de tamanho 4times3 cujo espaço de linhas L(A) é o plano pisubsetR^3 definido por
2X1+3X2-X3=0
O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity), que relaciona posto (rank) e nulidade (nullity) de A.
Passo 2
Como L(A) é um plano em R^3, sua dimensão é 2. Mas a dimensão do espaço de linhas de A é exatamente o posto de A. Logo,
rank(A)=2
Passo 3
O Teorema da Dimensão (Rank–Nullity) afirma que, para uma matriz mtimes n,
rank(A)+nullity(A)=n,
onde nullity(A) é a dimensão do núcleo de A (número de variáveis livres).
Passo 4
Aqui temos n=3 colunas. Substituindo rank(A)=2 no teorema: