Suponha que o espaço de linhas L(A) da matriz
A=[ccc a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 a41 & a42 & a43 ]
seja igual ao plano pi do R^3 dado pela equação 2 X1+3 X2-X3=0. Com base nisso, decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(b) Pode-se afirmar que a nulidade de A é igual a 1.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz A de tamanho 4times3 cujo espaço de linhas L(A) é o plano pisubsetR^3 definido por
2X1+3X2-X3=0
O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity), que relaciona posto (rank) e nulidade (nullity) de A.

Passo 2

Como L(A) é um plano em R^3, sua dimensão é 2. Mas a dimensão do espaço de linhas de A é exatamente o posto de A. Logo,
rank(A)=2

Passo 3

O Teorema da Dimensão (Rank–Nullity) afirma que, para uma matriz mtimes n,
rank(A)+nullity(A)=n,
onde nullity(A) é a dimensão do núcleo de A (número de variáveis livres).

Passo 4

Aqui temos n=3 colunas. Substituindo rank(A)=2 no teorema:
2 + nullity(A) = 3 Longrightarrow nullity(A)=1

Resposta

Verdadeiro.

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