Sabe-se que o tempo de falha (em anos) de certo transistor tem distribuição exponencial com alpha=20 anos.
a) Que proporção desse transistor sobreviverá a 6 anos de uso?
b) Este transistor será utilizado em um produto cujo fabricante irá estipular certo período de garantia. Qual tempo de garantia passível de ser estipulado, caso o fabricante concorde em arcar com o custo de no máximo 5 % de falhas neste período?
c) Se o fabricante desejar estipular um período de garantia de 2 anos, qual a proporção esperada de falhas associadas ao transistor neste período? Resp. a) 0,7408 ; b) aprox. 1 ano; c) 0,0952 .

Passo 1

O tempo até falha T segue distribuição exponencial com parâmetro de escala alpha=20 anos. Para resolver usamos:
– Função de sobrevivência
S(t)=P(T>t)=e^-t/alpha
– Função de distribuição acumulada
F(t)=P(T<= t)=1-e^-t/alpha
– Para encontrar o tempo que corresponde a uma certa probabilidade de falha p, invertimos F(t)=p.

Passo 2

Para a parte (a) queremos a proporção que sobrevive a 6 anos, ou seja
S(6)=e^-6/20=e^-0,3approx0,7408

Passo 3

Na parte (b) pedem o tempo de garantia tg de modo que P(T<= tg)=0,05. Então
1-e^-tg/20=0,05 Longrightarrow e^-tg/20=0,95 Longrightarrow tg=-20ln(0,95)approx1,026 anos

Passo 4

Na parte (c) com garantia de 2 anos, a proporção de falhas é
P(T<=2)=1-e^-2/20=1-e^-0,1approx0,0952

Resposta

a) 0,7408
b) aproximadamente 1,03 anos
c) 0,0952

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