Seja X uma variável aleatória com distribuição Weibull com alpha=200 e gamma=3.
a) Suponha que X represente o tempo de vida de um componente. Determine a probabilidade desse componente para durar mais de 50 horas.
b) Determine a probabilidade de que o componente dure mais que 250 horas, uma vez que já esteja em funcionamento por 200 horas.
c) Determine a duração esperada do componente. Use os seguintes fatos: Gamma(1,3)=0,8975. Resp.: a) 0,9845 ; b) 0,3855 ; c) 179,3 .

Passo 1

O enunciado diz que X segue uma Weibull de escala alpha=200 e forma gamma=3. Vamos precisar da função sobrevivência
S(x)=P(X>x)=expl(-(x/alpha)^gammar)
para calcular as probabilidades de sobrevivência nos instantes pedidos e da fórmula
E[X]=alpha,Gammal(1+tfrac1gammar)
para obter a duração esperada.

Passo 2

Para a) queremos
P(X>50)=S(50)=expl(-(50/200)^3r)
Como (50/200)^3=0,25^3=0,015625, temos
P(X>50)=exp(-0,015625)approx0,9845

Passo 3

Para b) usamos a propriedade de memória condicional
P(X>250mid X>200)=S(250)S(200) =expl(-(250/200)^3r)expl(-(200/200)^3r)
Calculando (250/200)^3=1,25^3=1,953125 e (200/200)^3=1, obtemos
P(X>250mid X>200) =expl(-1,953125+1r) =exp(-0,953125)approx0,3855

Passo 4

Para c) aplicamos
E[X]=alpha,Gammal(1+1gammar) =200;Gammal(1+tfrac13r)
Usando o fato dado Gamma(1,3)=Gamma(1+tfrac13)=0,8975, segue
E[X]=200times0,8975approx179,3

Resposta

a) 0,9845
b) 0,3855
c) 179,3

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