Sabe-se que o tempo de vida útil de uma certa marca de lâmpadas é exponencialmente distribuído com média de 24 meses. Uma empresa espera que suas lâmpadas durem pelo menos 26 meses para que seu lucro não seja prejudicado. Se a empresa utilizou lâmpadas desta marca, qual a probabilidade de que uma lâmpada, em particular, não gere prejuízo se já sobreviveu 20 meses?
(a) 0.02
(b) 0.43
© 0.78
(d) 0.67
(e) 0.22

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos lâmpadas cuja vida útil segue uma distribuição exponencial, com uma média de 24 meses. A empresa quer saber a probabilidade de uma lâmpada não gerar prejuízo, ou seja, durar pelo menos 26 meses, sabendo que ela já sobreviveu 20 meses. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição exponencial e a propriedade de “sem memória” dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson, e sua função de densidade é dada por:
f(x) = lambda e^-lambda x, x >= 0
Aqui, lambda é a taxa de ocorrência, que é o inverso da média. Como a média é 24 meses:
lambda = 124 meses^-1

Passo 3

A propriedade de “sem memória” da distribuição exponencial nos diz que a probabilidade de o evento ocorrer nos próximos t meses, dado que já se passaram s meses, é igual à probabilidade de ocorrer em t meses sem qualquer condição. Matematicamente:
P(X >= s + t mid X >= s) = P(X >= t)

Passo 4

No nosso caso, queremos P(X >= 26 mid X >= 20). Aplicando a propriedade de “sem memória”:
P(X >= 26 mid X >= 20) = P(X >= 6)
Isso porque a lâmpada já durou 20 meses, e queremos saber a probabilidade de durar mais 6 meses.

Passo 5

Agora, vamos calcular P(X >= 6). Para a distribuição exponencial, a função de sobrevivência é:
P(X >= t) = e^-lambda t
Substituindo lambda = 124 e t = 6:
P(X >= 6) = e^-124 times 6 = e^-624 = e^-0.25

Passo 6

Calculando o valor numérico:
e^-0.25 approx 0.7788
Arredondando para duas casas decimais, temos aproximadamente 0.78.

Resposta

A probabilidade é 0,78.

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