Sabe-se que o tempo de vida útil de uma certa marca de lâmpadas é exponencialmente distribuído com média de 24 meses. Uma empresa espera que suas lâmpadas durem pelo menos 26 meses para que seu lucro não seja prejudicado. Se a empresa utilizou lâmpadas desta marca, qual a probabilidade de que uma lâmpada, em particular, não gere prejuízo se já sobreviveu 20 meses?
(a) 0.02
(b) 0.43
© 0.78
(d) 0.67
(e) 0.22
(a) 0.02
(b) 0.43
© 0.78
(d) 0.67
(e) 0.22
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos lâmpadas cuja vida útil segue uma distribuição exponencial, com uma média de 24 meses. A empresa quer saber a probabilidade de uma lâmpada não gerar prejuízo, ou seja, durar pelo menos 26 meses, sabendo que ela já sobreviveu 20 meses. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição exponencial e a propriedade de “sem memória” dessa distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson, e sua função de densidade é dada por:
Aqui,
é a taxa de ocorrência, que é o inverso da média. Como a média é 24 meses:
Passo 3
A propriedade de “sem memória” da distribuição exponencial nos diz que a probabilidade de o evento ocorrer nos próximos
meses, dado que já se passaram
meses, é igual à probabilidade de ocorrer em
meses sem qualquer condição. Matematicamente:
Passo 4
No nosso caso, queremos
. Aplicando a propriedade de “sem memória”:
Isso porque a lâmpada já durou 20 meses, e queremos saber a probabilidade de durar mais 6 meses.
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Para a distribuição exponencial, a função de sobrevivência é:
Substituindo
e
:
Passo 6
Calculando o valor numérico:
Arredondando para duas casas decimais, temos aproximadamente 0.78.
Resposta
A probabilidade é 0,78.