Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade:
fX(x)= 0.111111111111111 exp (-0.111111111111111(x-28)), & se 28 <= x <= infty 0, & caso contrário á
Qual é a esperança de X?
(a) 51.0
(b) 28.0
© 42.6
(d) 37.0
(e) 9.0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função de densidade específica. Nosso objetivo é encontrar a esperança de $ X $, que é basicamente o valor médio que esperamos para $ X $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade contínua e cálculo de integrais para calcular a esperança.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de densidade de probabilidade (f.d.p.). Ela nos dá a probabilidade de $ X $ assumir valores dentro de certo intervalo. A esperança $ E[X] $ de uma variável contínua é calculada pela integral de $ x $ multiplicado pela f.d.p. de $ X $ sobre todo o intervalo possível de $ X $.
Matematicamente, isso é:
X

Passo 3

No nosso caso, a f.d.p. $ f_X(x) $ é dada por:
fX(x) á
Isso significa que $ X $ só assume valores a partir de 28. Então, nossa integral para a esperança vira:
fX(x) = 0.111111111111111 cdot e^-0.111111111111111(x - 28), & se 28 <= x <= infty 0, & caso contrário

Passo 4

Vamos simplificar a expressão. Observe que $ 0.111111111111111 $ é igual a $ \frac{1}{9} $, mas para facilitar, vamos manter o valor decimal. Também, podemos simplificar a expressão do expoente:
0.111111111111111
No entanto, para resolver a integral, é mais conveniente fazer uma substituição. Vamos definir:
19
Quando $ x = 28 $, $ t = 0 $ e quando $ x \to \infty $, $ t \to \infty $. Assim, a integral fica:
-0.111111111111111(x - 28) = -0.111111111111111x + 3.11111111111111

Passo 5

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
E[X] = 0.111111111111111 ( integral0^infty t cdot e^-0.111111111111111 t , dt + 28 integral0^infty e^-0.111111111111111 t , dt )
Sabemos que:
  1. $ \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t} , dt = \frac{1}{\lambda} $
  2. $ \int_{0}^{\infty} t \cdot e^{-\lambda t} , dt = \frac{1}{\lambda^2} $
Aqui, $ \lambda = 0.111111111111111 $.

Passo 6

Calculando cada parte:
  1. $ \int_{0}^{\infty} e^{-0.111111111111111 t} , dt = \frac{1}{0.111111111111111} = 9 $
  2. $ \int_{0}^{\infty} t \cdot e^{-0.111111111111111 t} , dt = \frac{1}{(0.111111111111111)^2} = \frac{1}{0.0123456790123457} \approx 81 $

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da esperança:
E[X] = 0.111111111111111 ( 81 + 28 cdot 9 ) E[X] = 0.111111111111111 ( 81 + 252 ) E[X] = 0.111111111111111 cdot 333 E[X] = 37

Resposta

A esperança de $ X $ é 37.0. Portanto, a resposta correta é a opção (d) 37.0.

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