Seja
uma variável aleatória contínua com função de densidade:
Qual é a esperança de
?
(a) 51.0
(b) 28.0
© 42.6
(d) 37.0
(e) 9.0
(a) 51.0
(b) 28.0
© 42.6
(d) 37.0
(e) 9.0
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função de densidade específica. Nosso objetivo é encontrar a esperança de $ X $, que é basicamente o valor médio que esperamos para $ X $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade contínua e cálculo de integrais para calcular a esperança.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de densidade de probabilidade (f.d.p.). Ela nos dá a probabilidade de $ X $ assumir valores dentro de certo intervalo. A esperança $ E[X] $ de uma variável contínua é calculada pela integral de $ x $ multiplicado pela f.d.p. de $ X $ sobre todo o intervalo possível de $ X $.
Matematicamente, isso é:
Passo 3
No nosso caso, a f.d.p. $ f_X(x) $ é dada por:
Isso significa que $ X $ só assume valores a partir de 28. Então, nossa integral para a esperança vira:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão. Observe que $ 0.111111111111111 $ é igual a $ \frac{1}{9} $, mas para facilitar, vamos manter o valor decimal. Também, podemos simplificar a expressão do expoente:
No entanto, para resolver a integral, é mais conveniente fazer uma substituição. Vamos definir:
Quando $ x = 28 $, $ t = 0 $ e quando $ x \to \infty $, $ t \to \infty $. Assim, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos separar a integral em duas partes:
Sabemos que:
- $ \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t} , dt = \frac{1}{\lambda} $
- $ \int_{0}^{\infty} t \cdot e^{-\lambda t} , dt = \frac{1}{\lambda^2} $
Aqui, $ \lambda = 0.111111111111111 $.
Passo 6
Calculando cada parte:
- $ \int_{0}^{\infty} e^{-0.111111111111111 t} , dt = \frac{1}{0.111111111111111} = 9 $
- $ \int_{0}^{\infty} t \cdot e^{-0.111111111111111 t} , dt = \frac{1}{(0.111111111111111)^2} = \frac{1}{0.0123456790123457} \approx 81 $
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da esperança:
Resposta
A esperança de $ X $ é 37.0. Portanto, a resposta correta é a opção (d) 37.0.