Sabe-se que o vetor é ortogonal aos vetores . Além disso, e se é o ângulo entre os vetores e , então . Determine o vetor
Passo 1
O enunciado pede um vetor que seja ortogonal aos vetores e , tenha norma e satisfaça , onde é o ângulo entre e o vetor unitário . Vamos usar produto vetorial para obter a direção de , depois ajustar o módulo e o sinal para garantir .
Passo 2
Calcular o produto vetorial
Usando a regra do determinante, temos
Passo 3
Qualquer vetor ortogonal aos dois dados é múltiplo de a=[1,-1,1]. Para impor |v|=2, seja
v = lambda,[1,-1,1]
Como |a|=raiz1^2+(-1)^2+1^2=raiz3, precisamos de
|lambda|,raiz3=2 Longrightarrow |lambda|=2raiz3
Passo 4
Para garantir cos(theta)>0, basta que a segunda componente de v seja positiva, pois cos(theta)=dfracvcdotjmath|v||jmath|=dfracvy2.
Se escolhermos lambda=+tfrac2raiz3, então vy=-tfrac2raiz3<0. Logo, tomamos lambda=-tfrac2raiz3, de modo que
v =-2raiz3,[1,-1,1] =l[-tfrac2raiz3,;tfrac2raiz3,;-tfrac2raiz3r],