Sabe-se que o vetor v é ortogonal aos vetores [1,1,0] e[-1,0,1]. Além disso, |v|=2 e se theta é o ângulo entre os vetores v e j, então cos (theta)>0. Determine o vetor v

Passo 1

O enunciado pede um vetor vinR^3 que seja ortogonal aos vetores
,[1,1,0] e [-1,0,1], tenha norma |v|=2 e satisfaça cos(theta)>0, onde theta é o ângulo entre v e o vetor unitário jmath=[0,1,0]. Vamos usar produto vetorial para obter a direção de v, depois ajustar o módulo e o sinal para garantir cos(theta)>0.

Passo 2

Calcular o produto vetorial
a = [1,1,0]times[-1,0,1]
Usando a regra do determinante, temos
a = i&j&k 1&1&0 -1&0&1 = i(1cdot1 - 0cdot0);-;j(1cdot1 - 0cdot(-1));+;k(1cdot0 - 1cdot(-1)) = [1,,-1,,1]

Passo 3

Qualquer vetor ortogonal aos dois dados é múltiplo de a=[1,-1,1]. Para impor |v|=2, seja
v = lambda,[1,-1,1]
Como |a|=raiz1^2+(-1)^2+1^2=raiz3, precisamos de
|lambda|,raiz3=2 Longrightarrow |lambda|=2raiz3

Passo 4

Para garantir cos(theta)>0, basta que a segunda componente de v seja positiva, pois
cos(theta)=dfracvcdotjmath|v||jmath|=dfracvy2.
Se escolhermos lambda=+tfrac2raiz3, então vy=-tfrac2raiz3<0. Logo, tomamos
lambda=-tfrac2raiz3, de modo que
v =-2raiz3,[1,-1,1] =l[-tfrac2raiz3,;tfrac2raiz3,;-tfrac2raiz3r],
e a componente y fica positiva.

Resposta

v = l(-tfrac2raiz3,;tfrac2raiz3,;-tfrac2raiz3r)

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