Utilize dois caminhos para mostrar que os limites abaixo não existem.
lim (x, y) (0,0) x^2-4 y^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite de f(x,y)=x^2-4y^2x^2+y^2 quando (x,y)to(0,0) não existe. O conteúdo envolvido é limite de funções de duas variáveis e, para provar que não existe, vamos usar o critério de caminhos distintos.

Passo 2

Escolhemos o caminho y=0. Substituindo em f(x,y) temos f(x,0)=x^2-4cdot0^2x^2+0^2=1Como isso independe de x (desde que xneq0), o limite ao longo de y=0 é 1.

Passo 3

Agora escolhemos o caminho x=0. Substituindo em f(x,y) obtemos f(0,y)=0^2-4y^20^2+y^2=-4Logo, ao longo de x=0 o limite é -4.

Passo 4

Como pelo caminho y=0 o limite dá 1 e pelo caminho x=0 -4, temos resultados diferentes. Pelo critério de caminhos, o limite em duas variáveis não existe.

Resposta

O limite não existe, pois por dois caminhos ( y=0 e x=0) obtemos valores diferentes ( 1 e -4).

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