Sabendo que: 1-x^2 y^23 <= arctg(x y)x y<1 e 2|x y|-x^2 y^26<4-4 cos raiz|x y|<2|x y|, calcule os seguintes limites:
lim substackx 0 y 0 arctg(x y)x y

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
usando o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche). Sabemos que quando e , o produto .

Passo 2

Pela desigualdade fornecida,
1 - x^2y^23 ;<=;arctg(xy)xy;<;1
Como xto0 e yto0 implica x^2y^2to0, temos
1 - x^2y^23;longrightarrow;1 e 1;longrightarrow;1
Então tanto o limite do termo à esquerda quanto o do termo à direita valem 1.

Passo 3

Pelo Teorema do Confronto, a expressão intermediária arctg(xy)xy também tende a 1 quando (x,y)to(0,0).

Resposta

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