Sabendo que z_{1}=2\left(\cos 30^{\circ}+i \cdot \operatorname{sen} 30^{\circ}\right) e z_{2}=3\left(\cos 150^{\circ}+i \cdot \operatorname{sen} 150^{\circ}\right), determine:
\frac{z_{1}}{z_{2}}

Passo 1

O enunciado dá os números complexos na forma trigonométrica
z_{1}=2\bigl(\cos 30^{\circ}+i\sin 30^{\circ}\bigr), \quad z_{2}=3\bigl(\cos 150^{\circ}+i\sin 150^{\circ}\bigr)
e pede \frac{z_{1}}{z_{2}}. O conteúdo é divisão de números complexos em forma polar, usando a fórmula
\frac{r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})} {r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})} =\frac{r_{1}}{r_{2}}\Bigl[\cos(\theta_{1}-\theta_{2}) +i\sin(\theta_{1}-\theta_{2})\Bigr].

Passo 2

Identificamos módulo e argumento de cada número:
r_{1}=2,\quad \theta_{1}=30^{\circ}, \qquad r_{2}=3,\quad \theta_{2}=150^{\circ}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de divisão em coordenadas trigonométricas, fica
\frac{z_{1}}{z_{2}} =\frac{r_{1}}{r_{2}}\Bigl[\cos(\theta_{1}-\theta_{2}) +i\sin(\theta_{1}-\theta_{2})\Bigr] =\frac{2}{3}\Bigl[\cos(30^{\circ}-150^{\circ}) +i\sin(30^{\circ}-150^{\circ})\Bigr].

Passo 4

Calculamos a diferença de ângulos e as funções trigonométricas:
30^{\circ}-150^{\circ}=-120^{\circ}, \quad \cos(-120^{\circ})=\cos(120^{\circ})=-\tfrac12, \quad \sin(-120^{\circ})=-\sin(120^{\circ})=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Substituindo em \tfrac{2}{3}[\cdots] e simplificando:
\frac{z_{1}}{z_{2}} =\frac{2}{3}\Bigl[-\tfrac12 +i\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)\Bigr] =\frac{2}{3}\Bigl(-\tfrac12\Bigr)+\frac{2}{3}\Bigl(-i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) =-\tfrac{1}{3}-i\tfrac{\sqrt{3}}{3}.

Resposta

\frac{z_{1}}{z_{2}}=-\frac{1}{3}-i\frac{\sqrt{3}}{3}.

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