Sabendo-se que as alturas dos alunos da UFGD se distribuem normalmente, com média 175 cm e que 20 % dos alunos tem altura inferior a 165 cm , determine a porcentagem de alunos com altura entre 168 cm e 177 cm .

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de estatística que envolve distribuição normal. A gente sabe que as alturas dos alunos da UFGD seguem uma distribuição normal com média de 175 cm. Também sabemos que 20% dos alunos têm altura abaixo de 165 cm. Nosso objetivo é descobrir qual a porcentagem de alunos que têm altura entre 168 cm e 177 cm.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma distribuição normal. É uma curva simétrica onde a maioria dos valores se concentra perto da média, e vai diminuindo à medida que nos afastamos dela. A média aqui é 175 cm.

Passo 3

Para resolver isso, vamos usar a padronização, que transforma nosso valor em um “z-score”. O z-score nos mostra quantos desvios-padrão um valor está da média. A fórmula é:
z = X - musigma
Onde:
  • é o valor que estamos analisando,
  • é a média,
  • é o desvio-padrão.

Passo 4

Sabemos a média ( -0,84 = 165 - 175sigma cm) e que 20% dos alunos têm altura abaixo de 165 cm. Vamos usar essa informação para encontrar o desvio-padrão ( ).
Consultando a tabela da distribuição normal, um z-score correspondente a 20% �� aproximadamente -0,84.
Usando a fórmula do z-score:

Passo 5

Vamos resolver para -0,84 cdot sigma = 165 - 175 :
-0,84 cdot sigma = -10
sigma = -10-0,84
sigma approx 11,90 cm
Então, o desvio-padrão é aproximadamente 11,90 cm.

Passo 6

Agora, queremos encontrar a porcentagem de alunos com altura entre 168 cm e 177 cm. Vamos calcular o z-score para cada um desses valores.
Para 168 cm:
z1 = 168 - 17511,90 approx -711,90 approx -0,59
Para 177 cm:
z2 = 177 - 17511,90 approx 211,90 approx 0,17

Passo 7

Com os z-scores calculados, vamos usar a tabela da distribuição normal para encontrar as probabilidades correspondentes.
Para , a probabilidade é aproximadamente 27,59%.
Para , a probabilidade é aproximadamente 56,60%.

Passo 8

Para achar a porcentagem entre 168 cm e 177 cm, subtraímos a probabilidade de 56,60% - 27,59% = 29,01% da probabilidade de :

Resposta

Aproximadamente 29,0 % dos alunos têm altura entre 168 cm e 177 cm.

Exercícios relacionados