Sabendo-se que as alturas dos alunos da UFGD se distribuem normalmente, com média 175 cm e que
dos alunos tem altura inferior a 165 cm , determine a porcentagem de alunos com altura entre 168 cm e 177 cm .
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de estatística que envolve distribuição normal. A gente sabe que as alturas dos alunos da UFGD seguem uma distribuição normal com média de 175 cm. Também sabemos que 20% dos alunos têm altura abaixo de 165 cm. Nosso objetivo é descobrir qual a porcentagem de alunos que têm altura entre 168 cm e 177 cm.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma distribuição normal. É uma curva simétrica onde a maioria dos valores se concentra perto da média, e vai diminuindo à medida que nos afastamos dela. A média aqui é 175 cm.
Passo 3
Para resolver isso, vamos usar a padronização, que transforma nosso valor em um “z-score”. O z-score nos mostra quantos desvios-padrão um valor está da média. A fórmula é:
Onde:
-
é o valor que estamos analisando, -
é a média, -
é o desvio-padrão.
Passo 4
Sabemos a média (
cm) e que 20% dos alunos têm altura abaixo de 165 cm. Vamos usar essa informação para encontrar o desvio-padrão (
).
Consultando a tabela da distribuição normal, um z-score correspondente a 20% �� aproximadamente -0,84.
Usando a fórmula do z-score:
Passo 5
Vamos resolver para
:
Então, o desvio-padrão é aproximadamente 11,90 cm.
Passo 6
Agora, queremos encontrar a porcentagem de alunos com altura entre 168 cm e 177 cm. Vamos calcular o z-score para cada um desses valores.
Para 168 cm:
Para 177 cm:
Passo 7
Com os z-scores calculados, vamos usar a tabela da distribuição normal para encontrar as probabilidades correspondentes.
Para
, a probabilidade é aproximadamente 27,59%.
Para
, a probabilidade é aproximadamente 56,60%.
Passo 8
Para achar a porcentagem entre 168 cm e 177 cm, subtraímos a probabilidade de
da probabilidade de
:
Resposta
Aproximadamente 29,0 % dos alunos têm altura entre 168 cm e 177 cm.