Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60, determinar o ângulo formado pelos vetores:
a) u e -v
b) -u e v
c) -u e -v
d) 2u e 3v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ângulos entre vetores. A questão nos dá que o ângulo entre os vetores u e v é de 60 graus. Precisamos determinar os ângulos entre:
a) u e -v
b) -u e v
c) -u e -v
d) 2u e 3v
Para isso, vamos usar conceitos de vetores e propriedades dos ângulos entre eles. Lembra que multiplicar um vetor por -1 apenas inverte sua direção, mas o ângulo entre vetores relacionados por inversão de direção possui uma relação direta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com o ângulo quando invertemos a direção de um vetor. Se temos um vetor v e o invertimos para -v, o ângulo entre u e -v vai mudar. O ângulo original entre u e v é de 60 graus, então precisamos ver como isso afeta o ângulo com -v.

Passo 3

Sabemos que o ângulo entre u e v é de 60 graus. Quando invertemos o vetor v para -v, o ângulo entre u e -v será o suplemento desse ângulo original. O suplemento de um ângulo θ é dado por 180° - θ.

Passo 4

Então, para o item a) u e -v:
O ângulo entre u e -v = 180° - 60° = 120°

Passo 5

Para o item b) -u e v:
Similar ao item a), ao invertermos u para -u, o ângulo entre -u e v também será o suplemento de 60°. Assim:
180° - 60° = 120°

Passo 6

No item c) -u e -v:
Aqui, invertemos ambos os vetores. Inverter u para -u e v para -v mantém a direção relativa entre os vetores, ou seja, o ângulo entre -u e -v será o mesmo que entre u e v, que é 60°.

Passo 7

Finalmente, no item d) 2u e 3v:
Quando multiplicamos os vetores por constantes escalares positivas, a direção deles não muda, apenas o tamanho. Portanto, o ângulo entre 2u e 3v é o mesmo que entre u e v, que é 60°.

Resposta

a) 120°
b) 120°
c) 60°
d) 60°

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