Sabendo que |u|=2, |v|=3 e u.v =-1 calcular (2v-u).(2v)

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos dois vetores $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $ onde $ |\mathbf{u}| = 2 $ e $ |\mathbf{v}| = 3 $. Além disso, sabemos que o produto escalar $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = -1 $. Precisamos calcular $ (2\mathbf{v} - \mathbf{u}) \cdot (2\mathbf{v}) $.
Conteúdo da matéria: Produto escalar de vetores.
O que vamos precisar: Propriedades do produto escalar, como distributividade e relação com as magnitudes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o produto escalar $ (2\mathbf{v} - \mathbf{u}) \cdot (2\mathbf{v}) $ usando a propriedade distributiva do produto escalar. Isso significa que podemos distribuir cada termo dentro do parênteses:
(2v - u) cdot (2v)

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma dessas partes separadamente. Primeiro, $ 2\mathbf{v} \cdot 2\mathbf{v} $.
Quando multiplicamos um vetor por um escalar, o produto escalar também é multiplicado pelos escalares. Assim:
2v cdot 2v
Sabemos que $ \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{v}|^2 $. Como $ |\mathbf{v}| = 3 $:
2v cdot 2v = (2 times 2)(v cdot v) = 4 (v cdot v)
Portanto:
v cdot v = |v|^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda parte: $ \mathbf{u} \cdot 2\mathbf{v} $.
Usando a mesma lógica:
u cdot 2v
Sabemos que $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = -1 $:
u cdot 2v = 2 (u cdot v)

Passo 5

Finalmente, juntamos as duas partes calculadas:
(2v - u) cdot (2v) = 36 - (-2) = 36 + 2 = 38

Resposta

O valor de $ (2\mathbf{v} - \mathbf{u}) \cdot (2\mathbf{v}) $ é 38.

Exercícios relacionados