Sabendo que |u|=2, |v|=3 e u.v =-1 calcular (2v-u).(2v)
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos dois vetores $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $ onde $ |\mathbf{u}| = 2 $ e $ |\mathbf{v}| = 3 $. Além disso, sabemos que o produto escalar $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = -1 $. Precisamos calcular $ (2\mathbf{v} - \mathbf{u}) \cdot (2\mathbf{v}) $.
Conteúdo da matéria: Produto escalar de vetores.
O que vamos precisar: Propriedades do produto escalar, como distributividade e relação com as magnitudes dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o produto escalar $ (2\mathbf{v} - \mathbf{u}) \cdot (2\mathbf{v}) $ usando a propriedade distributiva do produto escalar. Isso significa que podemos distribuir cada termo dentro do parênteses:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada uma dessas partes separadamente. Primeiro, $ 2\mathbf{v} \cdot 2\mathbf{v} $.
Quando multiplicamos um vetor por um escalar, o produto escalar também é multiplicado pelos escalares. Assim:
Sabemos que $ \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{v}|^2 $. Como $ |\mathbf{v}| = 3 $:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda parte: $ \mathbf{u} \cdot 2\mathbf{v} $.
Usando a mesma lógica:
Sabemos que $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = -1 $:
Passo 5
Finalmente, juntamos as duas partes calculadas:
Resposta
O valor de $ (2\mathbf{v} - \mathbf{u}) \cdot (2\mathbf{v}) $ é 38.