Seja
um espaço vetorial com base
. Dados dois vetores
e
de
, definamos
onde
e
. Mostre que
define um produto interno em
.
(Obs.: Isto prova que qualquer espaço vetorial de dimensão finita, diferente do espaço vetorial que contém apenas o vetor nulo, admite um produto interno).
(Obs.: Isto prova que qualquer espaço vetorial de dimensão finita, diferente do espaço vetorial que contém apenas o vetor nulo, admite um produto interno).
Passo 1
O enunciado nos dá um espaço vetorial de dimensão finita
com base
. Quaisquer vetores
têm coordenadas únicas
em relação a
, isto é
Definimos
O objetivo é mostrar que
satisfaz os três axiomas de um produto interno: (1) bilinearidade em cada argumento, (2) simetria e (3) positividade definida.
Passo 2
Verificamos a bilinearidade em cada argumento. Seja
com coordenadas
. Então
e
Para homogeneidade, seja
. As coordenadas de
são
, logo
Analogamente faz-se linearidade no segundo argumento, pois a soma e o escalar passam direto pelo somatório.
Passo 3
Mostramos a simetria. Se
e
, então
Passo 4
Verificamos a positividade definida. Para
temos
Cada termo
é não negativo, logo
. Além disso,
implica
, e isso só ocorre quando cada
. Mas
significa
. Portanto
se e somente se
.
Resposta
Como
é bilinear, simétrico e positivo definido, concluímos que
é um produto interno em
.