Seja V um espaço vetorial com base B=u1, ldots, un. Dados dois vetores v e w de V, definamos f(v, w)=sumi=1^n alphai betai onde v=sumi=1^n alphai ui e w=sumi=1^n betai ui. Mostre que f define um produto interno em V.
(Obs.: Isto prova que qualquer espaço vetorial de dimensão finita, diferente do espaço vetorial que contém apenas o vetor nulo, admite um produto interno).

Passo 1

O enunciado nos dá um espaço vetorial de dimensão finita V com base B=u1,dots,un. Quaisquer vetores v,winV têm coordenadas únicas alphai,betai em relação a B, isto é
v=sumi=1^nalphai ui, w=sumi=1^nbetai ui
Definimos
f(v,w)=sumi=1^nalphaibetai
O objetivo é mostrar que f satisfaz os três axiomas de um produto interno: (1) bilinearidade em cada argumento, (2) simetria e (3) positividade definida.

Passo 2

Verificamos a bilinearidade em cada argumento. Seja v1,v2,winV com coordenadas alphai^(1),alphai^(2),betai. Então
v1+v2=sumi=1^n(alphai^(1)+alphai^(2))ui
e
f(v1+v2,w) =sumi=1^n(alphai^(1)+alphai^(2)),betai =sumi=1^nalphai^(1)betai +sumi=1^nalphai^(2)betai =f(v1,w)+f(v2,w)
Para homogeneidade, seja cinR. As coordenadas de cv são calphai, logo
f(c,v,w) =sumi=1^n(c,alphai)betai =csumi=1^nalphaibetai =c,f(v,w)
Analogamente faz-se linearidade no segundo argumento, pois a soma e o escalar passam direto pelo somatório.

Passo 3

Mostramos a simetria. Se v=sumalphai ui e w=sumbetai ui, então
f(w,v) =sumi=1^nbetaialphai =sumi=1^nalphaibetai =f(v,w)

Passo 4

Verificamos a positividade definida. Para v=sumi=1^nalphai ui temos
f(v,v) =sumi=1^nalphai^2
Cada termo alphai^2 é não negativo, logo f(v,v)>=0. Além disso, f(v,v)=0 implica sumalphai^2=0, e isso só ocorre quando cada alphai=0. Mas alphai=0 forall i significa v=0. Portanto f(v,v)=0 se e somente se v=0.

Resposta

Como f é bilinear, simétrico e positivo definido, concluímos que f é um produto interno em V.

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