Seja T: R^2 R^3 tal que T(1,-1)= (1,2,3), T(1,0)=(-1,1,0). Nessas condições, |T(0,-1)| é?
raiz7

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação linear T:R^2toR^3 com
;T(1,-1)=(1,2,3) e ;T(1,0)=(-1,1,0).
Queremos encontrar o vetor T(0,-1) e em seguida seu comprimento lvert T(0,-1)rvert.

Passo 2

Como T é linear, basta escrever (0,-1) como combinação linear dos vetores cujas imagens conhecemos, a saber
(1,-1)e(1,0)
Procuramos alpha,betainR tais que
alpha,(1,-1);+;beta,(1,0);=;(0,-1)

Passo 3

Escrevendo coordenada a coordenada temos o sistema
alpha + beta = 0, -alpha = -1
Da segunda equação sai alpha=1. Substituindo na primeira, beta=-alpha=-1.

Passo 4

Usando linearidade de T:
T(0,-1) =alpha,T(1,-1)+beta,T(1,0) =1cdot(1,2,3);+;(-1)cdot(-1,1,0) =(1,2,3)-(-1,1,0)=(2,1,3)

Passo 5

O comprimento de (2,1,3) é
lvert T(0,-1)rvert =raiz2^2 + 1^2 + 3^2 =raiz4 + 1 + 9 =raiz14

Resposta

raiz14

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